1、2015-2016学年河北省保定市定兴县北河中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D22“x=1”是“x22x+1=0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件3圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A（x1）2+（y1）2=1BB（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=24直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，则b=（）A2或12B2或12C2或12D
2、2或125已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D126设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）ABC1D7过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D48已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）9已知椭圆+=1（m0 ）的左焦
3、点为F1（4，0），则m=（）A2B3C4D910已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A=1B=1Cy2=1Dx2=111若双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD12下列双曲线中，渐近线方程为y=2x的是（）ABy2=1 Cx2=1Dy2=1二.填空题：13若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r=14若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为15已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）
4、的一个焦点，则b=16椭圆+=1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是三.解答题：17如图，椭圆E： =1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为求椭圆E的方程18如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2（）圆C的标准方程为？（）圆C在点B处的切线在x轴上的截距？19已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程20已知点F为抛物线E：y2=2px（p0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=
5、3，（）求抛物线E的方程；（）已知点G（1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切21已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由22如图，已知抛物线C1：y=，圆C2：x2+（y1）2=1，过点P（t，0）（t0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点（1）求点A，B的坐标；（2）求PAB的面积2015-2016学年
6、河北省保定市定兴县北河中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x=3n+2，nN，B=6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为（）A5B4C3D2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：A=x|x=3n+2，nN=2，5，8，11，14，17，则AB=8，14，故集合AB中元素的个数为2个，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2“x=1”是“x22x+1=0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】简易逻
7、辑【分析】先求出方程x22x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案【解答】解：由x22x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x22x+1=0”的充要条件，故选：A【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题3圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A（x1）2+（y1）2=1BB（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=2【考点】圆的标准方程【专题】计算题；直线与圆【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程【解答】解：由题意知圆半径r=，圆的方程为（x1）2+（y1）2=2故选：D【点评】本题考查圆的方程的
8、求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题4直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，则b=（）A2或12B2或12C2或12D2或12【考点】圆的切线方程【专题】计算题；直线与圆【分析】由直线与圆相切得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到b的值【解答】解：x2+y22x2y+1=0可化为（x1）2+（y1）2=1直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相切，圆心（1，1）到直线的距离d=1，解得：b=2或12故选：D【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径5已知椭圆E的中心在坐
9、标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A3B6C9D12【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得y=3，所以a（2，3），B（2，3）|AB|=6故选：B【点评】本题考查
10、抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力6设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）ABC1D【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得A1（a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），利用A1BA2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率【解答】解：由题意，A1（a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，），A1BA2C，a=b，双曲线的渐近线的斜率为1故选：C【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析
11、解决问题的能力，比较基础7过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D4【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|【解答】解：双曲线x2=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=2，|AB|=4故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用8已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0
12、，1）D（0，1）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），=1，该抛物线焦点坐标为（1，0）故选：B【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础9已知椭圆+=1（m0 ）的左焦点为F1（4，0），则m=（）A2B3C4D9【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆+=1（m0 ）的左焦点为F1（4，0），可得25m2=16，即可求出m【解答】解：椭圆+=1（m0
13、）的左焦点为F1（4，0），25m2=16，m0，m=3，故选：B【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础10已知双曲线=1（a0，b0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A=1B=1Cy2=1Dx2=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为bxay=0，双曲线的渐近线与圆（x2）2+y2=3相切，b=a，焦点为F（
14、2，0），a2+b2=4，a=1，b=，双曲线的方程为x2=1故选：D【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键11若双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1的一条渐近线经过点（3，4），可得3b=4a，即9（c2a2）=16a2，解得=故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查12下列双曲线中，渐近线方程为y=2
15、x的是（）ABy2=1Cx2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】把曲线的方程化为标准方程，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程【解答】解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是=0，整理得y=2x正确；B，曲线方程是：y2=1，其渐近线方程是y2=0，整理得y=x错误；C，曲线方程是：x2=1，其渐近线方程是x2=0，整理得y=x错误；D，曲线方程是：y2=1，其渐近线方程是y2=0，整理得y=x错误；故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程二.
16、填空题：13若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120，（O为坐标原点），则r=2【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，AOB=120，则AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，则圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2
17、【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=r是解答的关键14若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y5=0【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为=，故切线的方程为y2=（x1），即 x+2y5=0，故答案为：x+2y5=0【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题15已知
18、（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b=【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），可得b的方程，即可得到b的值【解答】解：双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得=2，解得b=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题16椭圆+=1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求
19、解离心率即可【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由可得：m=，n=，代入可得：，解得e2（4e44e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e21=0即4e62e4+2e4e2+2e21=0，可得（2e21）（2e4+e2+1）=0解得e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力三.解答题：17如图，椭圆E： =1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为求椭圆E的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得b=1，e=，结合a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程【解答】解：由题意可得b=1，e=，由
20、a2c2=b2，解得c=1，a=，即有椭圆方程为+y2=1【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题18如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2（）圆C的标准方程为？（）圆C在点B处的切线在x轴上的截距？【考点】直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距【解答】解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），圆C的标准
21、方程为（x1）2+（y）2=2；（2）由（1）知，B（0，1+），圆C在点B处切线方程为（01）（x1）+（1+）（y）=2，令y=0可得x=1【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题19已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中
22、点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论【解答】解：（1）圆C1：x2+y26x+5=0，整理，得其标准方程为：（x3）2+y2=4，圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），与圆C1，联立方程组，消去y可得：（1+k2）x26x+5=0，由=364（1+k2）50，可得k2由韦达定理，可得x1+x2=，线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中k，线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x）2+y2=，其中x3【点评】本题考查求圆的方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题20已知点F为抛物线E：y2=2
23、px（p0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（）求抛物线E的方程；（）已知点G（1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p即可得出抛物线E的方程（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x25x+2=0，解得B又G（1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB=0，AGF=BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，
24、必与直线GB相切解法二：（I）同解法一（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x25x+2=0，解得B又G（1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2抛物线E的方程为y2=4x；（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，m2=42，解得m=，不妨取A，F（1，0），直线AF的方程：y=2（x1），联立，化为2x25x+2=0，解得
25、x=2或，B又G（1，0），kGA=kGB=，kGA+kGB=0，AGF=BGF，x轴平分AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解法二：（I）同解法一（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，m2=42，解得m=，不妨取A，F（1，0），直线AF的方程：y=2（x1），联立，化为2x25x+2=0，解得x=2或，B又G（1，0），可得直线GA，GB的方程分别为： x3y+2=0， =0，点F（1，0）到直线GA的距离d=，同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【点评】本小题主要考查抛
26、物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题21已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程
27、中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可【解答】解：（1）椭圆C：x2+3y2=3，椭圆C的标准方程为： +y2=1，a=，b=1，c=，椭圆C的离心率e=；（2）AB过点D（1，0）且垂直于x轴，可设A（1，y1），B（1，y1），E（2，1），直线AE的方程为：y1=（1y1）（x2），令x=3，得M（3，2y1），直线BM的斜率kBM=1；（3）结论：直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又直线DE的斜率kDE=1，BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x1）（
28、k1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1=（x2），令x=3，则点M（3，），直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k23=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，kBM1=0，kBM=1=kDE，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题22如图，已知抛物线C1：y=，圆C2：x2+（y1）2=1，过点P（t，0）（t0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点（1）求点A，B的坐标；（2）求PAB的面
29、积【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（xt）（k0），与抛物线方程联立化为x24kx+4kt=0，利用=0，解得k=t，可得A坐标圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，可得，解得B坐标（2）由（1）可得：（t21）x2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|=t2即可得出SPAB【解答】解：（1）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（xt）（k0），联立抛物线，化为x24kx+4kt=0，=16k216kt=0，解得k=t，x=2t，A（2t，t2）圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，解得x0=，y0=B（，）（2）由（1）可得：kAB=，直线AB的方程为：yt2=（x2t），化为（t21）x2ty+2t=0，点P到直线AB的距离d=t，又|AB|=t2SPAB=【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题
