1、【考点6】导数及其应用2013年考题1.（2013安徽高考）设，函数的图像可能是（ ）【解析】选C.可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选C。2.（2013广东高考）函数的单调递增区间是 A. B.(0,3) C.(1,4) D. 【解析】选D.,令,解得,故选D3.（2013湖南高考）设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则 AK的最大值为2 B. K的最小值为2CK的最大值为1 D. K的最小值为1 【解析】选D。由知，所以时，当时，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。4.（2013湖南高考）
2、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）yababaoxoxybaoxyoxybA B C D【解析】选A因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数5.（2013天津高考）设函数则A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。【解析】选D.由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又。6.（2013江苏高考）函数的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。，由
3、得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。【答案】7.（2013辽宁高考）若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3 【答案】38.（2013安徽高考）已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。【解析】的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.9.（2013
4、安徽高考）已知函数，a0， （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间1，上的值域。其中e=2.71828是自然对数的底数。【解析】(1)由于令 当,即时, 恒成立.在(0,)上都是增函数.当,即时由得0或 或又由得综上当时, 在上是增函数.当时, 在上是减函数,在上都是增函数.()当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为 10.（2013福建高考）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x
5、)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3
6、时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差KMP-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于M，P的公共点与KMP的m正负有着密切的关联；KMP=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足KMP=0的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率KMP 当Kmp=0时，解得 (舍去)直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）中的观察，可得m的取值范围为解法二：（
7、1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在x1=-1，x2=3处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的t的最小值为2.11.（2013福建高考）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲
8、线存在异于、的公共点；【解析】解法一：（I）依题意，得 由得（）由（I）得 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+-+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线
9、段与曲线有异于的公共点解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 12.（2013广东高考）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 【解析】（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若
10、，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.13.（2013广东高考）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【解析】（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 14. （2013山东高考）已知函数,其中 当满足什么条件时,取得极值?已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.【解析】 (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程
11、的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f (x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,为单调增函数;当时,为单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,
12、 ; 当时, 15.（2013海南宁夏高考）已知函数.设，求函数的极值；若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.【解析】（1）当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 16.（2013海南宁夏高考）已知函数()如，求的单调区间；()若在单调增加，在单调减少，证明6. 【解析】（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以 将右边展开，与左边比
13、较系数得，故又由此可得于是 17.（2013浙江高考）已知函数，其中 （I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围； （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（I）因，因在区间上不单调，所以在恒成立，由得 ，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以； （II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A，B=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；当时A=B，
14、则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；所以，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意 18. （2013浙江高考）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围【解析】（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得19. （2013天津高考）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率； 当时，求函数的单调区间与极值。 【解析】（I）（II） 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的
15、变化情况如下表：f(x)+00+f(x)极大值极小值 （2），则，当变化时，的变化情况如下表：f(x)+00+f(x)极大值极小值 20. （2013天津高考）设函数（）当求曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。【解析】当时，所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：-0+0-极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，又，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最
16、小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 综上，m的取值范围是21（2013辽宁高考）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。【解析】(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调递增。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调递减，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。【解析】（I） 由知，当时，故在区间是增函数； 当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和内
17、是增函数，在区间内是减函数。（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。 由假设知 即 解得 1a1,证明对任意的c,都有M2: ()若mK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。【解析】（I）解：，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则 将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当
18、时，函数）的对称轴位于区间内， 此时由有(b1)2若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（）可知； （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 ，即下同解法130.（2013湖南高考）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析
19、】（）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。31.（2013湖南高考）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。【解析】（）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c0,因为n是正整数，故0a0)的单调递增区间是 【解析】由可得.【答案】.10、（2012江苏高考）直线是曲线的一条切线，则实数b 【解析】本小题考查导数的几何意义、
20、切线的求法 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以bln21【答案】ln2111、（2012江苏高考） 对于总有0 成立，则= 【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论取何值，0显然成立；当x0 时，0可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；【答案】412、（2012北京高考）已知函数,对于上的任意x1,x2,有如下条件：x1x2; x21x22; |x1|x2.其中能使f(x1) f(x2)恒成立的条件序是.【解析】函数显然是偶函数，其导数y=2x+sinx在0x0得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是（，0），（2，）；由f(x
21、)0得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.()由（）得f(x)3x(x-2),令f(x)0得x=0或x=2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-.0)0(0,2)2(2,+ )f(x)+00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值，当1a0）有极大值9. （）求m的值； （）若斜率为-5
22、的直线是曲线的切线，求此直线方程.【解析】() f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=m, 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,m)m(m,)(,+)f(x)+00+f (x)极大值极小值从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1或x.又f(1)6，f()，所以切线方程为y65(x1),或y5(x)，即5xy10，或135x27y230.36、 (2012陕西高考) 设函数其中实数（）若，求函数的单调区间；（）当函数与
23、的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；（）若与在区间内均为增函数，求的取值范围【解析】（），又，当时，；当时，在和内是增函数，在内是减函数（）由题意知 ，即恰有一根（含重根），即，又， 当时，才存在最小值， ，. 的值域为 （）当时，在和内是增函数，在内是增函数由题意得，解得；当时，在和内是增函数，在内是增函数由题意得，解得；综上可知，实数的取值范围为37、（2012四川高考）已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。【解析】（）因为 所以 因此（）由（）知， 当时，当时，所以的单调增区间是的单调减区间是（）由（
24、）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因为 所以在的三个单调区间直线与的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。38、（2012安徽高考）设函数（）求函数的单调区间； （）已知对任意成立，求实数的取值范围。【解析】(1) 若 则 列表如下 +0-单调增极大值单调减单调减 (2) 在 两边取对数, 得 ,由于所以 (1)由(1)的结果可知,当时, , 为使(1)式对所有成立,当且仅当,即39、（2012江西高考）已知函数，当时，求的单调区间；对任意正数，证明：【解析】、当时，求得 ，于是当时，；而当 时，即在中单调递增，而在中单调递减 （2）.对
25、任意给定的，由 ，若令 ，则 ，而 （一）、先证；因为，又由 ，得 所以（二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则（）、当，则，所以，因为 ，此时 （）、当 ，由得 ,，因为 所以 同理得 ，于是 今证明 , 因为 ，只要证 ，即 ，也即 ，据，此为显然 因此得证故由得 综上所述，对任何正数，皆有40、（2012湖南高考）已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I) 求函数的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.【解析】（）函数的定义域是，设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,
26、所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知， 设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为41、（2012年陕西高考）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围【解析】（），由题意知，即得，（*），由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（*）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，
27、解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取值范围为42、（2012重庆高考）设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1）处的切线垂直于y轴.（）用a分别表示b和c；（）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.【解析】()因为 又因为曲线通过点（0，2a+3）, 故 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. ()由()得 故当时，取得最小值-. 此时有 从而 所以 令，解得 当 当 当 由此可见，函数的单调递减区间为（-，-2）和（2，+）；单调递增区间为（-2，2）.43
28、、（2012福建高考）已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. 【解析】()因为所以(x)=x2+2x, 由点在函数y=f(x)的图象上, 又所以 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.() ,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.44、（
29、2012浙江高考）已知是实数，函数。（）求函数的单调区间；（）设为在区间上的最小值。（i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。【解析】（）函数的定义域为，（）若，则，有单调递增区间若，令，得，当时，当时，有单调递减区间，单调递增区间（）（i）若，在上单调递增，所以若，在上单调递减，在上单调递增，所以若，在上单调递减，所以综上所述， （ii）令若，无解若，解得若，解得故的取值范围为45、（2012辽宁高考）设函数（）求f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式
30、等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力满分14分【解析】（）2分故当时，时，所以在单调递增，在单调递减4分由此知在的极大值为，没有极小值6分（）（）当时，由于，故关于的不等式的解集为10分（）当时，由知，其中为正整数，且有12分又时，且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合（）（）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为14分2011年考题1、（2011江苏高考）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则32.【解析】 得 322、（2011山东高考）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式
31、都成立【解析】(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得3、（2011天津高考）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方
32、程；（）当时，求函数的单调区间与极值【解析】（）解：当时，又，所以，曲线在点处的切线方程为，即（）解：由于，以下分两种情况讨论（1）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00减函数极小值增函数极大值减函数所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00增函数极大值减函数极小值增函数所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数函数在处取得极大值，且函数在处取得极小值，且3（2011全国）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：【解析】（1）的导数曲线在点处的切线
33、方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即4、（2011全国）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围【解析】（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是5、（2011重庆高考）已知函数(x0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。【解析】（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为
