1、2.2最大值、最小值问题第1课时函数的最值与导数学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大(小)值与导数如图为yf(x)，xa，b的图像思考1观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值梳理最值的概念及求法(1
2、)函数f(x)在闭区间a，b上的最值、最值点函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)，把f(x0)叫作yf(x)在a，b上的最大值函数f(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0)，把f(x0)叫作yf(x)在a，b上的最小值函数的最大值和最小值统称为最值(2)求连续函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最值一定是极值，而极值不一定是
3、最值()2函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值一定大于极小值()3单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值()4若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一()类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,2考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解(1)因为f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f
4、(x)0，又x0,2，解得x或x.因为f(0)0，f(2)，f ，f .所以当x0时，f(x)有最小值0；当x2时，f(x)有最大值.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函数f(x)在区
5、间2,5上是减少的，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的递减区间是(，k1)；递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上是增加的所以f(x)在区
6、间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上是减少的，在(k1,1上是增加的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上是减少的所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k0，则令f(x)0，解得x.由x0,1，则只考虑x的情况当01，即0a1时，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a；当1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上是增加的，当x1时，f(x)
7、有最大值f(1)3a1.综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.若af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)
8、解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设af(a)，f(1)f(1)，故需比较f(0)与f(1)及f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a10，所以f(x)的最大值为f(0)b1.又f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，a，所以a，b1.1函数f(x)x24x7在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案B解析f(x)2x4，当x3,5时，f(x)0，故f(x)在3,5上是减少的，故f(x)的最大值和最小值
9、分别是f(3)，f(5)2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，又x(0,1)，0a1，故选B.4设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)_.答案0解析因为f(x)在a，b上的最大值与最小值相等，所以f(x)在a，b上为常函数，f(x)0.5函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_答案(7，)解析f(x)3x2x2，令f
10、(x)0，得x或x1.可求得f(x)maxf(2)7，所以对于任意x1,2，f(x)7.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论一、选择题1函数yxsin x，x的最大值是()A1 B.1 C D1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案C解析y1cos x0，故yxsin x在上是增加的，所以当x时，ymax.2函数f(x)在2,4上的最小值为()A0 B.C. D.答案C解析f(x)，当x2,4时，f(x)0，即函数f(x)在2,4上是减少的
11、，故当x4时，函数f(x)有最小值.3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上是减少的，F(x)maxF(a)f(a)g(a)4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或考点含参数的最值问题题点已知最值求参数答案C解析当a1时，最大值为4，不符合题意当1a2时，f
12、(x)在a,2上是减少的，所以f(x)maxf(a)，即a22a3，解得a或a(舍去)5函数f(x)x3mx21在2，1上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围为()A(6，3) B6，3C. D.考点函数最值的问题题点最值存在性问题答案D解析f(x)3x22mx3x，令f(x)0，得x10，x2，由题意知m0，f(x)maxf，2m1，即3m.6函数f(x)exx在区间1,1上的最大值是()A1 B1Ce1 De1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案C解析由题意得f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x1,0)时，f(x)0.所以f(x)在1,0)上是减少的，在(0,
13、1上是增加的又因为f(1)1，f(1)e1，所以f(1)f(1)2e0，所以f(1)0，b0，所以f(x)ax3bx2x在1,1上是增加的，故f(x)在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2，f(x)在1,0上的最小值f(1)(ab)212.8函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案A解析由f(x)3x230，得x1，则f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由题意知|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin2
14、0.二、填空题9已知a0，若函数f(x)在1,1上的最大值为2，则实数a的值为_考点含参数的函数的最值问题题点已知最值求参数答案1解析求导得f(x)，令f(x)0，可得x1或xa，又f(1)0，f(a)1，f(1)，若12，则有a1；若2，则也有a1，因此a1.10已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_考点函数最值的应用题点已知极值求最值答案13解析f(x)3x22ax，由题意知f(2)0，得a3，f(x)x33x24，令f(x)3x26x3x(x2)0，解得x10，x22(舍去)，f(1)0，f(0)4，f(1)2，f(x)min4，f(
15、x)3x26x3(x1)23，f(x)minf(1)9，f(m)f(n)的最小值是4913.11函数f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.考点含参数的函数最值问题题点己知最值求参数答案23解析f(x)4ax38ax4ax(x22)，a0，x1,2，当x(1，)时，f(x)0，f(x)minf()b4a5，f(x)maxf(2)b3，由可得a2，b3.三、解答题12已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增加的，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值考点函数最值的应用题点已知极值求最值
16、解(1)f(x)3x22ax3，x1，)时f(x)0恒成立，amin3(当且仅当x1时取等号)a3.(2)由题意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0；当3x0，即当x3时，f(x)取极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是9，最大值是15.13设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0恒成立考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由题设知f(x)的定义域为(0，)
17、，f(x)，所以g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)因为g(a)g(x)0恒成立，即ln a0恒成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0a0)y2t.当0t时，y时，y0，可知y在上是增加的故当t时，|MN|有最小值15已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增加的若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10，则g(a)在(0，)上是增加的，又g(1)0，于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)
