1、1.2充分条件与必要条件第二课时充要条件填一填充要条件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.判一判1.当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()2若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()3若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件()4“ab”是“a2b2”的充分条件()5“|a|b|”是“a2b2”的必要条件()6“ab”是“acbc”的充要条件()7“”是“sin ”的必要条件()8“xy2”是“x1，y
2、1”的必要条件()想一想1.从命题的角度理解符号“”的意义是什么？“”表示连接的两个命题互为逆命题且同真2“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？“p是q的充要条件”说明p是条件，q是结论“p的充要条件是q”说明q是条件，p是结论3从集合的角度怎样判断充分条件、必要条件和充要条件？(1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若AB，则p，q互为充要条件；(4)若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件思考感悟：练一练1“x1”是“x21”的()A充分不必要条件B必要不
3、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A2设xR，则“x1”是“x3x”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A3“|x|y|”是“xy”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：B4钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：B知识点一充要条件的判断1已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：因为A1，a，B1,2,3，若a3，则A1
4、,3，所以AB，所以a3AB；若AB，则a2或a3，所以ABa3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件故选A.答案：A2“cos ”是“2k，kZ”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当2k，kZ时，cos ；反过来，若cos ，则2k或2k，kZ.所以“cos ”是“2k，kZ”的必要不充分条件故选A.答案：A3设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：由题可知，若a1a20时，解得q1，此时数列an是递增数列，当a10时，解得0q1，此时数列an是递增数
5、列；反之，若数列an是递增数列，则a1a2a3成立，所以“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的充要条件故选C.答案：C知识点二充要条件的求解与证明4.已知方程x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件解析：令f(x)x2(2k1)xk2，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的实数根等价于解得k2.以上过程的每一步都是等价的，因此，k0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，所以等式成立当xy0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，所以等式成立当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，所以等式成立，总
6、之，当xy0时，|xy|x|y|成立综上可知，“xy0”是“等式|xy|x|y|成立”的充要条件.综合应用7.已知集合A，Bx|1xm1，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_解析：易知集合Ax|1x3，即m2.答案：(2，)8若“x2axb0”是“x1”的充要条件，则ab的值为_解析：由题设得解得所以ab1.答案：1基础达标一、选择题1设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“mn是偶数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：m，n均为偶数mn是偶数，则充分性成立；而mn是偶数m，n均为偶数答案：A2已知ABC的顶点坐标为A(2
7、,3)，B(0,0)，C(4,0)，则“方程x2”是“BC边上中线所在直线的方程”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为ABC的顶点坐标为A(2,3)，B(0,0)，C(4,0)，所以BC的中点为D(2,0)，则中线AD所在直线的方程为x2，即“方程x2”是“BC边上中线所在直线的方程”的充要条件，故选C.答案：C3设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：若m且m，则平面与平面不一定平行，有可能相交；而m且一定可以推出m，所以“m”是“”的必要而不充分条件故选B
8、.答案：B4“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由两直线平行，可得解得a1；当a1时，两直线的方程分别为x3y30和x3y10，可知两直线平行故“a1”是“直线ax3y30与直线x(a2)y10平行”的充要条件故选C.答案：C5设xR，则“x”是“2x2x10”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：不等式2x2x10，即(x1)(2x1)0，解得x或x可以得到不等式2x2x10成立，但由2x2x10不一定得到x，所以“x”是“2x2x10”的充分而不必要
9、条件答案：A6已知x，y为实数，则“xy0”是|xy|xy|的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件解析：因为|xy|xy|(xy)2(xy)2xy0，所以“xy0”是|xy|xy|的充分且必要条件，故选C.答案：C7函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1解析：当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案：A8函数f(x)(a1)tan2x3sin xa23a4为奇函数的充要条件是()Aa4 Ba1Ca4或a1 DaR
10、解析：因为函数f(x)(a1)tan2x3sin xa23a4为奇函数，所以f(x)f(x)，即(a1)tan2x3sin xa23a4(a1)tan2x3sin xa23a4，即(a1)tan2xa23a4(a1)tan2x(a23a4)，则即即则a1.当a1时，f(x)3sin x为奇函数，则函数f(x)(a1)tan2x3sin xa23a4为奇函数的充要条件是a1，故选B.答案：B二、填空题9满足tan 1的一个充分条件是_(填一个角即可)解析：当时，tan 1，故是tan 1的一个充分条件答案：10若“x21”是“x1得x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，即x|xax|x1
11、所以a1，即a的最大值为1.答案：111如果不等式|xm|1成立的充分不必要条件是10)上不是单调函数的充要条件是_解析：由f(x)得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故f(x)在区间(m,2m1)(m0)上不是单调函数0m1.答案：0m0时，Aa,3a，此时有解得1a2；当a0时，A3a，a，此时AB，不符合题意综上，实数a的取值范围是1,214求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件解析：当a0时，符合要求当a0时，显然方程没有零根，若方程有两个异号的实根，则由根与系数的关系可知a0；若方程有两个负实根，则，解得0a1.综上所述，若方程ax22x10至少有
12、一个负实根，则a1.反之，若a1，则方程ax22x10至少有一个负实根因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.能力提升15.函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是_解析：由f(x)为奇函数知f(0)0，从而b0，则f(x)x|xa|.又f(x)f(x)，则x|xa|x|xa|，化简得|xa|xa|，故a0.反之，当ab0时，f(x)x|x|为奇函数答案：ab016为激发学生的学习兴趣，兴趣小组组长在黑板上写出三个集合：A，Bx|x23x40，Cx|x22x0然后请甲，乙，丙三位同学到讲台上，并将a的值告诉他们，要求他们各用一句话来描述他们各自的想法，以便同学们能确定数a.以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：a为小于10的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：C是A成立的必要不充分条件组长说这三位同学说的都对请根据他们四人的话，判断出a的值为_解析：将已知集合B，C化成最简的形式，Bx|1x4，Cx|0x2，由甲、乙的描述知a为1,2,3,4中的一个，根据丙的描述可知，a1时满足条件，a2时C是A成立的充分必要条件，a3或a4时，C是A成立的充分不必要条件，故a1.答案：1
