1、3.2.2复数代数形式的乘除运算填一填1.复数代数形式的乘法(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z32.共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数z的共轭复数用表示若zabi(a，bR)，则abi.3复数的除法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则
2、i.复数的除法的实质是分母实数化若分母为abi型，则分子、分母同乘abi；若分母为abi型，则分子、分母同乘abi.判一判1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减()解析：复数加减乘除的混合运算法则与实数的相同，故正确2两个共轭复数的和与积是实数()解析：若zabi(a，bR)，则abi，则z2aR.因此，和一定是实数；z1z2a2b2.R，因此积是实数故正确3若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()解析：如z11，z2i满足zz0，但z1与z2不相等，故错误4两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()解析：两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分条件，故错误5两个共轭虚数的差为
3、纯虚数()解析：若zabi(a，bR且b不为0)，则abi，则z2bi，为纯虚数，故正确.想一想1.复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？提示：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部和虚部分别合并即可2复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共轭复数3共轭复数的性质有哪些？提示：(1)在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数(
4、4)z|z|2|2；|z|；z2a，z2bi(zabi，a，bR)4如何求虚数的平方根？提示：设zabi(a，bR且b0)，xyi(x，yR)是zabi的平方根，则有(xyi)2abi，即x2y22xyiabi，所以有解方程组求出x，y的值即可思考感悟：练一练1i(1i)2的值等于()A4 B2C2i D4i解析：i(1i)2i(2i)2，故选B.答案：B2若复数z满足(1z)(12i)i，则在复平面内表示复数z的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由(1z)(12i)i，得z1i，在复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第四象限故选D.答案：D3若复数z满足(1i)z2
5、i(i为虚数单位)，则复数z_.解析：z1i.答案：1i4复数z1i，为z的共轭复数，则zz1_.解析：依题意得zz1(1i)(1i)(1i)1i.答案：i 知识点一复数的乘除运算1.复数(1i)2(23i)的值为()A64i B64iC64i D64i解析：(1i)2(23i)2i(23i)64i.答案：D2在复平面内，复数(1i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：(1i)2i132ii，对应点在第二象限答案：B3复数22i的平方根是()A.i B.iCi D(i)解析：设复数22i的平方根为xyi(x，yR)，则x2y22xyi22i，解得或所求平方根为i
6、或i.故选D.答案：D知识点二共轭复数4.已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由条件知：z12i，其在复平面内对应的点为(1，2)，在第四象限，故选D.答案：D5若z6，z10，则z()A13i B3iC3i D3i解析：设zabi(a，bR)，则abi，解得a3，b1，则z3i.答案：B6已知复数z的共轭复数是，且z4i，z13，试求.解析：设zxyi(x，yR)，则由条件可得即解得或因此z32i或z32i.于是i，或i.知识点三虚数单位i的幂的周期性7.计算2 005等于()Ai BiC22 005 D
7、22 005解析：原式2 004i.故选A.答案：A8计算：ii2i3i2014.解析：方法一：原式1i.方法二：ii2i3i4i1i10，inin1in2in30(nN*)原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 009i2 010i2 011i2 012)i2 013i2 0140i11i.基础达标一、选择题1若复数z11i，z23i，则z1z2等于()A42i B2iC22i D3i解析：z1z2(1i)(3i)13ii(31)i42i.答案：A2若i是虚数单位，则等于()A.i B.iC.i D.i解析：i.答案：B3若z，则复数等于()A2i B2iC2i D2i解析：z2i
8、，2i.答案：D4已知i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为()A. B.C. D.解析：zi，故复数z在复平面内对应的点为.答案：B5已知i为虚数单位，则等于()A23i B23iC23i D23i解析：23i.答案：C6(12i)(34i)(2i)等于()A2015i B2015iC2015i D2015i解析：(12i)(34i)(2i)(34i6i8)(2i)(112i)(2i)2211i4i22015i.答案：D7已知i为虚数单位，若复数z(aR)的虚部为3，则|z|()A. B2C. D5解析：因为zi，所以3，解得a5，所以z23i，所以|z|.答案：C二、填空题8计算：_.解
9、析：i.答案：i9已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.答案：210若复数z满足(2i)z5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是_解析：由已知zi(2i)12i，故|z|.答案：11已知i是虚数单位，m，nR，且m2i2ni，则的共轭复数为_解析：m，nR，且m2i2ni，可得m2，n2，i.所以它的共轭复数为i.答案：i12若关于x的方程x2(2i)x(2m4)i0有实数根，则纯虚数m_.解析：设mbi(bR且b0)，则x2(2i)x(2bi4)i0，化简得
10、(x22x2b)(x4)i0，即解得故m4i.答案：4i三、解答题13计算：(1)(1i)(32i)(22i)2；(2)；(3).解析：(1)原式(32i3i2)(48i4)(5i)8i57i.(2)原式(1)(1)ii(1)i.(3)原式2.14已知复数z满足(z2)43i，求z.解析：设zxyi(x，yR)，则xyi.由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以zi或zi.能力提升15.已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解析：(z12)(1i)1i，z12i，z12i.设z2a2i(aR)，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.又z1z2R，a4.z242i.16已知z，为复数，(13i)z为实数，且|5，求.解析：设xyi(x，yR)，由，得z(2i)(xyi)(2i)依题意，得(13i)z(13i)(xyi)(2i)(x7y)(7xy)i，7xy0.又|5，x2y250.由得或17i或17i.
