1、第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率基础过关练 题组一直线的倾斜角与斜率1.下列说法中,正确的是()A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等2.已知直线PQ的斜率为-3,将直线绕点P顺时针旋转60,所得的直线的斜率是()A.0B.33C.3D.-33.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30角,则直线l的倾斜角为()A.30B.60C.30或150D.60或1204.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1k2k3B.k3k1k2C
2、.k3k2k1D.k1k3k25.(多选)下列四个命题中,为假命题的是()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是0,)C.若一条直线的斜率为tan ,则此直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为tan 6.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知BOD=60,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.题组二直线的斜率公式7.(2020河南河大附中高二上期中)已知两点A(-1,2),B(3,4),则直线AB的斜率为()A.2B.-12C.12D.-28.(2021山东枣庄八中高二上月考)若直线过点(2,4),
3、(1,4+3),则此直线的倾斜角是()A.30B.60C.120D.150 9.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45,则点P的坐标为.10.已知三点A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在同一直线上,则实数m的值为.题组三直线的方向向量及其应用11.(2021山东济宁实验中学高二月考)经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值是()A.1B.-1C.-2D.212.(2021山东菏泽一中高二上月考)已知直线l的一个方向向量为d=(3,-4),则直线l的斜率为.13.已知直线l1的方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直
4、线l1倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.能力提升练题组一直线的倾斜角与斜率 1.(2021山东东营一中高二上月考,)设直线l的斜率为k,且-1k3,则直线l的倾斜角的取值范围为()A.0,334,B.0,634,C.6,34D.0,334,2.(2020吉林大学附属中学高二上第一次月考,)若两直线l1,l2的倾斜角和斜率分别为1,2和k1,k2,则下列四个命题中正确的是()A.若12,则k1k2B.若1=2,则k1=k2C.若k1k2,则1bc0,则 f(a)a,f(b)b,f(c)c的大小关系为()A.f(c)c f(b)b f(a)aB.f(a)a f(b)b f(c)cC.f(c)c f(
5、a)a f(b)bD.f(a)a f(c)c f(b)b6.(2021安徽合肥八中高二上月考,)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则yx-3的最大值为()A.1B.35C.-12D.-37.(多选)()直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是()A.-2B.12C.1D.38.()若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是.9.()台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边之后按照光线反射
6、的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为.深度解析10.(2020安徽芜湖第一中学月考,)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.答案全解全析基础过关练1.CA错,因为倾斜角为90的直线斜率不存在;B错,因为当=90时,直线的斜率不存在;C显然对;D错,若两直线的倾
7、斜角为90,则它们的斜率不存在,无法比较大小.2.C直线PQ的斜率为-3,则其倾斜角为120,绕点P顺时针旋转60后,所得直线的倾斜角为60,斜率为3.3.D如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60或120.4.D由题图可知,直线l1的倾斜角为钝角,所以k1k30,所以k2k3k1.5.ACD对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90,斜率不存在,A是假命题;对于B,直线的倾斜角的取值范围是0,),B是真命题;对于C,一条直线的斜率为tan ,但此直线的倾斜角不一定为,如直线y=x的斜率为tan54=1,但它的倾斜角为4,C是假命题;对于D,一条直线的倾斜角为时,它的斜率为tan 或不存
8、在,D是假命题.故选ACD.6.解析因为ODBC,BOD=60,所以直线OD,BC的倾斜角都是60,斜率kOD=kBC=tan 60=3.因为OB在x轴的正半轴上,DCOB,所以直线OB,DC的倾斜角都是0,斜率kOB=kDC=tan 0=0.由菱形的性质知,COB=30,OBD=60,所以直线OC的倾斜角为30,斜率kOC=tan 30=33,直线BD的倾斜角为DBx=180-60=120,斜率kBD=tan 120=-3.7.C由A、B的坐标得kAB=4-23-(-1)=12,故选C.8.C依题意知直线的斜率k=4+3-41-2=-3,设直线的倾斜角为,则tan =-3,又0180,=12
9、0,故选C.9.答案(3,0)或(0,-3)解析若设点P的坐标为(x,0),则0-(-1)x-2=tan 45=1,解得x=3,即P(3,0).若设点P的坐标为(0,y),则y-(-1)0-2=tan 45=1,解得y=-3,即P(0,-3).10.答案2解析因为A、B、C三点在同一直线上,所以kAB=kBC,即2-(-1)0-(-3)=4-2m-0,解得m=2.11.C直线AB的一个方向向量为AB=(1,0)-(0,2)=(1,-2),所以k=-2,故选C.12.答案-43解析设直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为n=(1,k),又直线l的一个方向向量为d=(3,-4),nd,1(-4
10、)-3k=0,解得k=-43.13.解析设直线l1的倾斜角为,则直线l2的倾斜角为2.由直线l1的方向向量为n=(2,1),得直线l1的斜率为tan =12,因此直线l2的斜率为tan 2=2tan1-tan2=43.能力提升练1.D直线l的倾斜角为,则0,),由-1k3,得-1tan k2,故A错误;易知C错误;令1=2=90,则k1、k2不存在,故B错误;由k1=k2知,1=2,故D正确.故选D.3.B由直线的倾斜角的范围是4,34,得直线的斜率存在时,k1.当m2时,kAB=3-1m-2=2m-2,2m-21,解得0m2或2m4.当直线的斜率不存在时,m=2符合题意,综上,实数m的取值范
11、围是(0,4).故选B.易错警示已知倾斜角的取值范围确定斜率的范围时,要注意倾斜角的取值范围中含有90的情况,此时斜率的范围分成两段,如本题中的“k1”,而不是“-1kbc0,所以f(a)a f(b)b f(c)c,故选B.6.Cyx-3表示过点P(x,y)与点C(3,0)的直线的斜率,而kAC=3-02-3=-3,kBC=2-0-1-3=-12,因为点P在线段AB上,所以-3yx-3-12,则yx-3的最大值为-12.故选C.7.ACD如图所示,当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1,则k1=3-00-1=-3,当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2=1-02-1=1,所以要使直线l
12、与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-,-31,+),故选ACD.8.答案-43,39解析设直线的倾斜角为,2,斜率为k,则k=tan =2a-(1+a)4-(1-a)=a-1a+3,又为钝角,a-1a+30,即(a-1)(a+3)0,故-3a1,关于a的函数m=3a2-4a图象的对称轴为a=23,当a=23时,m有最小值,为-43.又当a=-3时,m=39,当a=1时,m=-1,实数m的取值范围是-43,39.9.答案110,0信息提取目标球无旋转射入;经过x轴(桌边)上的点反弹.数学建模将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是点关于线对称,求A点关于x轴的对称
13、点A或求B点关于x轴的对称点B;三点共线,即A、P、B三点共线或A、P、B三点共线.再用所学公式解决问题.解析设P(x,0),A点关于x轴对称的点A(-2,-3),则kAP=0-(-3)x-(-2)=3x+2,kAB=7-(-3)5-(-2)=107,A,B,P三点共线,kAP=kAB,即3x+2=107,解得x=110,故P点坐标为110,0.解题模板求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点向P点反射至B点,则A点的对称点A与P、B共线,此直线为反射线;B点的对称点B与P、A共线,此直线为入射线.10.解析(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53.(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是17,53.