1、江苏省南通市基地学校2020届高三数学第一次大联考试题（含解析）注意事项考些在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前、请您务必将自己的姓名、考试证导等用书写黑色宇迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3.作答试题必须用书写照色字迹的0.5毫米签宇越写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.参考公式：样本数据的方差，其中.柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高.球体的体积公式，其中为球体的半径.一
2、、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.把答案填写在答题卡相应位置.1.已知集合，则_.【答案】.【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：集合，.故答案为：.【点睛】本题考查交集的求解，是基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_.【答案】5.【解析】【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.【详解】设，则，则，故答案为：5.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_.【答案】42.【解析】【分析】由已知中的程序代码，可得程序的功能是利用循环计算变量S的值，模拟程序的运行过程，即可
3、得到答案.【详解】解：由已知中的程序代码，模拟程序的运行过程可得：当时，减少为17，；当时，减少为14，；当时，减少为11，；当时，不满足继续循环的条件，故输出结果为.故答案为：42.【点睛】本题考查的知识点是伪代码，循环结构，模拟程序运行结果，是解答此类问题常用方法.4.若样本数据3，4，5，的平均数为4，且，则此样本的方差为_.【答案】2.【解析】【分析】关键寻找关于的方程组，题目中说的平均数和就是要找的方程，解方程组，即可求出的值，从而利用方差公式求解即可.【详解】解：由已知得，即，又，则一个是2，一个是6，方差，故答案为：2.【点睛】本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题.5.从
4、1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10的概率为_.【答案】.【解析】【分析】从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，先求出基本事件总数，再求出两数之积大于10包含的基本事件个数，由此能求出两数之积大于10的概率.【详解】解：从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，基本事件总数，两数之积大于10包含的基本事件有（3，4），（3，5），（4，5），两数之积大于10的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.6.现有一个半径为的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为的圆柱状实心铁器（不计损耗）
5、，则该圆柱铁器的高为_.【答案】4.【解析】【分析】直接利用球的体积和圆锥的体积相等求出结果.【详解】解：根据题意球圆锥，设圆柱铁器的高为整理得，解得.故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和圆锥的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.7.已知函数的图象关于点对称，则的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】由题意可得，求得的解析式，可得的最小值.【详解】解：由题意可得，求得，又，则的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题.8.设等差数列的前项和为，若，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】由得，代入中计算
6、可得结果.【详解】解：由得，即，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，是基础题.9.在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】将抛物线方程变形为，求导，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据与准线的交点列方程求解即可.【详解】解：由已知得，即，当时，解得，故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义及抛物线切线方程的求解，导数的应用是关键，是基础题.10.已知是定义在上的奇函数，当时，.则满足不等式的实数的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得在区间上为增函数，且，结
7、合函数的奇偶性和单调性可得，解得的取值范围，即可得答案.【详解】解：根据题意，函数满足当时，则在区间上为增函数，且，又由函数为奇函数，且函数是上的连续函数，则在上为增函数，则，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于的不等式.11.已知为正实数，则的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】令，则，利用基本不等式即可求最值.【详解】解：令，则，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.【点睛】本题基本不等式求最值，其中换元法的使用让式子更简化直观，本题难度不大.12.在中，已知，若为中点，且，则_.【答案】.【解析】【分析】由两边同时平方可得，又，代入已知条件
8、计算即可.【详解】解：，解得，故答案为：.【点睛】本题在三角形中考查了数量积的运算，以及模的运算，考查学生计算能力，难度不大.13.在平面直角坐标系中，已知是圆的直径.若与圆外离的圆上存在点，连接与圆交于点，满足，则半径的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】推导出ON是ABM的中位线，进而点M在以B为圆心，4为半径的圆周上，；点M可以认为是以O为圆心6为半径的圆上一点，这个圆记为，再由点M是在与圆O外离的圆上的点，得到，由此能求出存在符合题意的点M时，的取值范围.【详解】解：AM与圆O交于点N，且圆心O是AB中点，ON是ABM的中位线，BM2ON4，点M在以B为圆心，4为半径的圆周上，；又
9、B是圆O上任意一点，点M可以认为是以O为圆心6为半径的圆上一点，这个圆记为，又点M是在与圆O外离的圆上的点，.存在符合题意的点M时，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查圆半径的取值范围的求法，考查直线方程、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.14.已知函数与的零点分别为和.若，则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.【详解】解：由，得，对于函数，在上单调递增，在上单调递减，其图像如下图，由，得，对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图， 令得，要，则直线要在点下方，故答案：【点睛】
10、本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为函数图象交点问题，利用数形结合研究的位置关系是解决本题的关键.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥中，.为的中点，为上一点，且平面.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）通过证明中点可得，进而可证明平面；（2）由平面可得平面平面，又，则可证明平面，进而可得平面平面.【详解】（1）因为平面平面，所以.因为为一点，所以为中点. 因为为的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以平面
11、平面. 因为，所以. 因为平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及面面垂直的证明，是基础题.16.在中，角所对边分别为.已知.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，化简可得，则角可得；（2）由可得，则展开计算即可.【详解】（1）在中，因为，所以. 结合正弦定理得，即. 因为，所以，所以.可得；（2）在中，因为，则，.又因为，则. 所以.【点睛】本题考查了三角恒等公式的应用以及正弦定理的应用，属于中档题17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程；（2）已知
12、圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.求的值；求证：直线的交点在定直线上.【答案】（1）；（2）2，证明见解析.【解析】分析】（1）根据焦距可得，再将点代入椭圆的方程，可得椭圆方程；（2）设，代入椭圆方程计算可得，再得到，计算即可得结果；直线的方程为，直线的方程为，消去可得结果.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，所以. 又因为在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设，则，所以，即.又因为均在轴上方，所以. 因为，所以. 因为，所以直线的方程为，易得，所以直线的方程为，又因为直线的方程
13、为， 所以，解得.所以直线交点在轴上.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查定直线问题，考查计算能力与方程思想，是中档题.18.某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中百米，百米，半圆形池塘的半径为1百米，圆心与线段的中点重合，半圆与的左侧交点为.该农场计划分别在和上各选一点，修建道路，要求与半圆相切.（1）若，求该道路的总长；（2）若为观光道路，修建费用是4万元/百米，为便道，修建费用是1万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值.【答案】（1）百米；（2）万元.【解析】【分析】（1）利用图中边角关系，分别计算出，的长度，相加即可；（2）设，得的取值范围是，可得修建
14、观光道路与便道的总费用，利用导数求其最值即可.【详解】（1）因为，所以. 而,所以.答：道路的总长为百米. （2）设.若点与点重合，则；若点与点重合，则，所以由题意，的取值范围是. 设切点为，连结.则.设修建观光道路与便道的总费用为万元，则. 设，则.令，得，令，且. 列表如下：-0+极小值所以当时，取得最小值.所以. 答：修建观光道路与便道的总费用的最小值为万元. 【点睛】本题考查含三角型函数模型的应用、导数的性质及应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题.19.设为数列的前项和，若（为常数）对任意恒成立.（1）若，求的值；（2）若，且.求数列的通项公式；若数列满足，且，求证：数列为
15、等比数列.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得数列为等比数列，则可得，进而答案可求；（2），利用求数列的通项公式；由可得，则，又，可求出，计算，进一步，则可得，代入计算可得，得证.【详解】（1）因为，所以，所以数列为等比数列.所以，所以. （2）.当时，解得或（舍去）. 当时，化简得：.又因为，所以，所以数列为等差数列，所以. 因为，所以当时，.又因为，所以.当时，解得. 因为，所以，两式相除得，.因为，所以，两式相除得， 所以.又因为，所以，即.所以数列为等比数列.【点睛】本题考查求通项公式，考查等比数列证明，其中利用等比中项证明等比数列是关键，考查了计算能力，
16、是中档题.20.已知函数.（1）若函数与有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求的值；（2）记.若在区间（为自然对数底数）上至少存在一点，使得成立，求的取值范围；若函数图象存在两条经过原点的切线，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或，.【解析】【分析】（1）利用导数求出与的极值点即可；（2）转化为求在上恒成立，再求其补集即可，即有，令，求导，分和讨论求值最小值，列不等式求出的取值范围，再求其补集即可；设切点，求出切线方程，可把问题转化为函数在上有两个零点，利用导数，分，讨论求出单调性和极值，进而可得结果.【详解】（1）因为，所以.令，解得（舍去）.1+0-极大值所以为函数
17、的极大值点. 因为，所以.令，解得.+0-极大值所以为函数的极大值点.因为函数与有相同的极值点，所以. （2）.先求在上恒成立，即有.令，则，令，得.若，则当时，单调递减；当时，单调递减，所以，得.若时，同理得，得.综上，的取值范围为或；设切点，则切线方程为，又切线过原点，则，整理得设，题意即为，函数在上有两个零点.由于.（i）当时，无零点；（ii）当时，在上递减，此时不可能存在两个零点，故不满足条件；（iii）当时，令，0极小值所以极小值.要使函数在上有两个零点，则必须满足，所以.因为在连续且为增函数，所以在唯一零点.因为，而在连续且为减函数，故在有唯一零点.所以当时，在有两个零点，满足条件
18、.故所求的取值集合为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点，综合性较强，难度大.2020届高三基地学校第一次大联考数学（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第2123题），本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写照色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加
19、粗，描写清楚。【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21.已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.【答案】.【解析】【分析】根据特征多项式可得，可得，进而可得矩阵A的逆矩阵.【详解】因为矩阵的特征多项式，所以，所以.因为，且，所以.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相交于两点，求弦的长.【答案】.【解析
20、】【分析】首先消去参数可得直线的普通方程，曲线的普通方程，将直线和曲线普通方程联立可求出交点坐标，进而可求出弦长.【详解】直线的普通方程为. 曲线的普通方程为，它表示抛物线. 由消，得，解得，所以两点的坐标分别为和.所以弦的长为.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查弦长的求解，是基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知关于的不等式的解集为，求的最大值.【答案】.【解析】【分析】由可得，对比解集可得，则可求出，代入，利用基本不等式可求最值.【详解】由，得，即.因为不等式的解集为，所以，解得. 所以.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，考查基本不等式求最值，是基础题.【必做题】第22、23题
21、，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.在某次数学测验中，学号为的四位同学的考试成绩，且满足.（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；（2）设四位同学中恰有位同学的考试成绩为96分，求随机变量的概率分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，1.【解析】【分析】（1）先求出四位同学的考试成绩的所有可能数，另外四位同学的考试成绩互不相同的可能数为1，进而利用古典概型的公式求概率；（2）的可能取值为0，1，2，3，4，求出随机变量的概率，进而可计算出期望.【详解】（1）设“四位同学的考试成绩互不相同”为事件，四位同学的考试成
22、绩的所有可能数为种， 而四位同学的考试成绩互不相同的可能数为1，所以.答：四位同学的考试成绩互不相同的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，4，则，.所以的概率分布列为01234.答：随机变量的数学期望为1.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，是基础题.25.已知.（1）若，求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式计算即可；（2），则通过变形可得，则，分奇偶讨论可得结果.【详解】（1）由二项展开式的通项公式得，解得. （2）因为.所以. 所以，当为奇数时，；当为偶数时，.所以.【点睛】本题考查二项式展开式定理，考查数列求和，注意奇偶讨论，是一道中档题.
