1、第三章 圆锥曲线与方程3 双曲线 第25课时 双曲线及其标准方程(2)基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.进一步理解双曲线的定义及标准方程.2.掌握双曲线及其标准方程的简单应用.基础巩固一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1已知动点 P(x，y)满足 x22y2 x22y22，则动点 P 的轨迹是()A椭圆B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支D解析：x22y2 x22y22 表示动点 P(x，y)到两定点 F1(2,0)，F2(2,0)的距离之差等于 2,2|F1F2|4，由双曲线的定义，知动点 P 的轨迹是双曲线的右支2“k2”是“方程 x24k y2k21
2、”表示双曲线的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：k2方程 x24k y2k21 表示双曲线，而方程 x24ky2k21 表示双曲线(4k)(k2)0k4，故“k2”是“方程 x24k y2k21 表示双曲线”的充分不必要条件3若双曲线y25x2k 1 与抛物线 x212y 有相同的焦点，则 k的值为()A4 B4 C2 D2B解析：抛物线 x212y 的焦点坐标为(0,3)因为双曲线y25x2k 1与抛物线 x212y 有相同的焦点，所以 5k9，所以 k4.故选B.4已知ABP 的顶点 A，B 分别为双曲线 C：x216y291 的左、右焦点，顶点
3、P 在双曲线 C 上，则|sinAsinB|sinP的值等于()A.7B.74C.54D.45D解析：在ABP 中，根据正弦定理得|sinAsinB|sinP|PB|PA|AB|.由条件可知，c216925，所以|AB|2c10，且|PB|PA|2a8，所以|sinAsinB|sinP2a2c 81045.5设 F1，F2 分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点若点 P在双曲线上，有PF1 PF2 0，则|PF1 PF2|()A.10B2 10C.5D2 5B解析：因为PF1 PF2 0，所以 PF1PF2，即PF1F2 为直角三角形，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2 10)2
4、40，|PF1 PF2|PF1 PF2 2|PF1|2|PF2|22PF1 PF2 402 10.6已知 F1、F2 为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P在 C 上，F1PF260，则 P 到 x 轴的距离为()A.32B.62C.3D.6B解析：|PF1|PF2|2，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24，|PF1|2|PF2|242|PF1|PF2|，由余弦定理知|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|cos60，又a1，b1，c a2b2 2，|F1F2|2c2 2，42|PF1|PF2|8|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4，设 P 到 x 轴的距
5、离为|y0|，SPF1F212|PF1|PF2|sin6012|F1F2|y0|，124 32 122 2|y0|，|y0|32 62.故选 B.7从双曲线x23y251 的左焦点 F 引圆 x2y23 的切线 FP交双曲线右支于点 P，T 为切点，M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|MT|()A.3B.5C.5 3D.5 3D解析：点 P 在双曲线的右支上，设右焦点为 F2，则|PF|PF2|2a2 3.在 RtOTF 中，|FO|c2 2，|OT|a 3，|TF|b 5.M 为线段 FP 的中点，MO 为FPF2 的中位线，|MF|MO|a 3，则|MT|5|MO|3，故|
6、MO|MT|5 3.8已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，N 是圆 O：x2y21 上任意一点，点 F1 关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹方程是()Ax2y231Bx2y231C.x23y21D.x23y21B解析：如图，当点 P 在 y 轴左侧时，连接 ON，PF1，因为|ON|12|F2M|1，所以|F2M|2，所以由 PN 为线段 MF1 的中垂线，可得|PF1|PM|PF2|F2M|PF2|2，所以|PF2|PF1|2|F1F2|4.同理，当点P在y轴右侧时，|PF1|PF2|20)，因为 PF1PF2，所以(x2)2
7、x2(2c)28，所以 x 31，x2 31，所以|PF2|PF1|31 312 3.10已知点 F1，F2 分别是双曲线x2a2y291(a0)的左、右焦点，P 是该双曲线上的一点，且|PF1|2|PF2|16，则PF1F2 的周长是.34解析：因为|PF1|2|PF2|16，所以|PF1|PF2|16882a，所以 a4.又因为 b29，所以 c225，所以 2c10.所以PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|1681034.11已知双曲线的两个焦点为 F1(5，0)，F2(5，0)，M 是此双曲线上一点，若MF1 MF2 0，|MF1|MF2|2，则该双曲线的方程是.x24y21
8、解析：设双曲线的方程为x2a2y2b21，由题意得|MF1|MF2|2a，|MF1|2|MF2|2(2 5)220，又因为|MF1|MF2|2，所以|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2，即 20224a2，所以 a24，b2c2a2541，所以双曲线的方程为x24y21.三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29y236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上，F1、F2 为左、右焦点，且|MF1|MF2|6 3，试判断MF1F2 的形状解：(1)椭圆方程
9、可化为x29y241，焦点在 x 轴上，且 c 94 5，故设双曲线方程为x2a2y2b21，则有9a2 4b21，a2b25，解得 a23，b22，所以双曲线的标准方程为x23y221.(2)不妨设 M 点在右支上，则有|MF1|MF2|2 3，又|MF1|MF2|6 3，故解得|MF1|4 3，|MF2|2 3，又|F1F2|2 5，因此在MF1F2 中，|MF1|边最长，而 cosMF2F1|MF2|2|F1F2|2|MF1|22|MF2|F1F2|0，所以MF2F1 为钝角故MF1F2 为钝角三角形13(13 分)如图，已知双曲线中 c2a，F1，F2 为左、右焦点，P 是双曲线上的点
10、，F1PF260，SF1PF212 3.求双曲线的标准方程解：由题意可知双曲线的标准方程为x2a2y2b21.由于|PF1|PF2|2a，在F1PF2 中，由余弦定理得cos60|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|22|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|4(c2a2)4b2，所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin602b2 32 3b2，从而有 3b212 3，所以 b212，c2a，结合 c2a2b2，得 a24.所以双曲线的标准方程为x24y2121.能力提升14(5 分)已知 F 是双曲线x24y2121
11、 的左焦点，A(1,4)，点 P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值是.9解析：由双曲线x24y2121，得 c4，所以左焦点 F(4,0)，右焦点 F(4,0)，由双曲线的定义得：|PF|PF|2a4，所 以|PF|PA|4|PF|PA|4|AF|4 142429，此时 P 为 AF与双曲线的交点，即|PF|PA|的最小值为 9.15(15 分)双曲线x29y2161 的两个焦点为 F1，F2，点 P 在双曲线上若 PF1PF2，求点 P 到 x 轴的距离解：设 P 点为(x0，y0)，而 F1(5,0)，F2(5,0)，则PF1(5x0，y0)，PF2(5x0，y0)因为 PF1PF2，所以PF1 PF2 0，即(5x0)(5x0)(y0)(y0)0，整理，得 x20y2025.又因为 P(x0，y0)在双曲线上，所以x209y20161.联立，得 y2025625，即|y0|165.因此点 P 到 x 轴的距离为165.谢谢观赏！Thanks!
