1、第三章圆锥曲线与方程2 抛物线第23课时 抛物线的简单几何性质基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.能指出抛物线的轴、顶点、离心率.2.能根据所给条件求抛物线方程.3.能利用抛物线的简单性质解决有关的问题.基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，)B6，)C(3，)D3，)D解析：抛物线的焦点到顶点的距离为3，p23，即p6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为p2，抛物线上的点到准线距离的取值范围为3，)2顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx
2、28yCy28x或x2yDy2x或x28yD解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，将点P(4，2)的坐标代入，得a1，所以抛物线的标准方程为y2x；若焦点在y轴上，设方程为x2by，将点P(4，2)的坐标代入，得b8，所以抛物线的标准方程为x28y.故所求抛物线的标准方程是y2x或x28y.3若抛物线y2x上一点P到焦点的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(18，24)B(18，24)C(18，24)D不存在C解析：由题意得点P是线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，其中O为原点(即抛物线的顶点)，F为抛物线的焦点，且F(14，0)，所以P点的横坐标为18，代入y2x得y 24
3、，故P点的坐标为(18，24)4已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48C解析：不妨设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点坐标为(p2，0)，将x p2 代入y22px可得y2p2，又|AB|12，即2p12，p6.点P在准线上，到AB的距离为p6，PAB的面积为1261236.5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|等于()A10 B8C6 D4B解析：由题意知p2，|AB|x1x2p628.6若抛物线y22px
4、(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A2 B18C2或18 D4或16C解析：设P(x0，y0)，则x0p210，|y0|6，y202px0，362p10p2，即p220p360，解得p2或18.7设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A.p2BpC2pD无法确定C解析：当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.8设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于()A30 B45C60 D90D解析：由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴
5、对称，设A(a，a24)，B(a，a24)，a0.SAOB122aa24 16，解得a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上一点(x，2)到点F的距离为4，则x.4解析：因为点(x，2)在抛物线上，所以焦点F在y轴的负半轴上，则由顶点在原点，可知抛物线方程为x22py(p0)，焦点F0，p2，准线方程为yp2，则由定义得2p24，所以p4，所以抛物线的方程为x28y.将y2代入得x216，所以x4.10O为坐标原点，F为抛物线C：y24 2x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|4 2，则PO
6、F的面积为.2 3解析：由y24 2x知：焦点F(2，0)，准线x 2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0 24 2，x03 2，y204 23 224，|y0|2 6，SPOF12 22 62 3.11已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为1，)解析：设直线ya与y轴交于点M，抛物线yx2上要存在C点，使得ACB为直角，只要以|AB|为直径的圆与抛物线yx2有交点即可，也就是使|AM|MO|，即 aa(a0)，所以a1.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)如图所示，抛物线C的顶点为坐
7、标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2y21相切(1)求抛物线C的方程；(2)若点A，B都在抛物线C上，且FB2OA，求点A的坐标解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x22py(p0)，其准线l的方程为yp2.准线l与圆x2y21相切，圆心(0,0)到准线l的距离d0(p2)1，解得p2.故抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y1，x224y2，由题意得F(0,1)，FB(x2，y21)，OA(x1，y1)，FB2OA，(x2，y21)2(x1，y1)(2x1,2y1)，即x22x1，y22y11，代入得4x218y14，即x212y11，又x2
8、14y1，所以4y12y11，解得y112，x1 2，即点A的坐标为(2，12)或(2，12)13(13分)已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线方程为x1.(1)设A(x0，y0)，则|AF|x014，x03，y02 3，A(3，2 3)(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|4，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由ykx1，y24x，得k2x2(2k24)xk20，易知k0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22k24k2，|AB|x1
9、x2244k24，综上所述，|AB|4.线段AB的最小值为4.能力提升14(5分)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，若|BC|2|BF|且|AF|3，则此抛物线的方程为.y23x解析：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A、B，如图|BC|2|BF|2|BB|，BCB30，|AC|2|AA|，即|AC|6，|FC|3，即|FN|32(N为准线与x轴的交点)，从而p32.故抛物线方程为y23x.15(15分)已知动点M到点(4,0)的距离比它到直线l：x3的距离多1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)求过点(4,0)且倾斜角为30的直线被曲线C所截得的线段的长度解：(1)由题意可知，动点M到点(4,0)的距离与到直线x4的距离相等，故M点的轨迹为以(4,0)为焦点，x4为准线的抛物线，此抛物线方程为y216x.(2)设直线与抛物线交点为A，B，直线AB的方程为y0 33(x4)，即y 33 x4 33.将直线方程与抛物线方程联立得y 33 x4 33，y216x，得x256x160，故xAxB56，|AB|xAxBp56864.谢谢观赏！Thanks!
