1、课时作业A组基础巩固1设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆 B直线C平面 D线段解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面答案：C2已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A. B.C. D.解析：设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2.所以n(1，2,2)由于|n|3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.答案：B3在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1
2、,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1，0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.答案：B4已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若，则点P的坐标为()A. B.C. D.解析：(x,1，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，0，0.x，z.答案：A5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCE
3、F与BD1相交DEF与BD1异面解析：建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(0,1,0)(1, 0,0)(1,1,0)，E(，0， )，F(，0)，(，)，0，0，EFA1D，EFAC.答案：B6若直线l的方向向量e(2,1，m)，平面的法向量n(1，2), 且l，则m_.解析：平面的法向量即为平面的法线的方向向量，又l，en，即en(0)，亦即(2,1，m)，m4.答案：47在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，
4、则x的值为_解析：由OPOQ，所以0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或8ABC的三个顶点分别是A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD长为_解析：(5，6,2)(1，1,2)(4，5,0)，(1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)，cos，sin，AC边上的高为|AB|sin，5.答案：59.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PAAD，E，F分别为线段AB，PD的中点求证：(1)AF平面PEC；(2)AF平面PCD.证明：以A为原点，向量，的方向分
5、别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设ABa，PAAD1，则P(0,0,1)，C(a,1,0)，E，D(0,1,0)，F.(1)，又AF平面PEC，AF平面PEC.(2)(0,1，1)，(a,0,0)，(0,1，1)0，(a,0,0)0，即AFPD，AFCD，又PDCDD，AF平面PCD.10.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.(1)求证：C1CBD；(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？并给出证明解析：(1)证明：设a，b，c.依题意，|a|b|.，中两两所成的夹角为，于是ab，c(ab)cacb|c|a|
6、cos |c|b|cos 0，.C1CBD.(2)若使A1C平面C1BD，只需A1CBD，A1CDC1，由()()(abc)(ac)|a|2abbc|c|2|a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos 0，当|a|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|c|时，A1CBD，1时，A1C平面C1BD.B组能力提升1.如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于()A2 B3C4 D6解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)设Q(1，x,0)(0xa)P(0,0，z)则(1，x，z)，(1，ax,0)由PQQD，得
7、1x(ax)0，即x2ax10.由题意知方程x2ax10只有一解a240，a2，这时x10，a答案：A2已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是()A BC D解析：2240，APAB，正确；440，APAD，正确；由知是平面ABCD的法向量，正确不正确答案：C3在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是DD1，D1C1的中点，则关于直线OM下列说法正确的是_是AC和MN的公垂线；垂直于AC，但不垂直于MN；垂直于MN，但不垂直于AC；与AC
8、，MN都不垂直解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，O，M，N，则(1,1,0)，0，0，即选项正确答案：4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，点P为C1D1的中点，点M为BC的中点，则APM的面积为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系则A(2，0,0)，M(，2,0)，P(0,1，)，cos，sin，SAPM| |sin，23.答案：35.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置证明：以D为坐标原点以DA，DC，
9、DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.(1)A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，z)，则(a，a，za)，(a，a,0)，a2a2(za)00.，即A1EBD.(2)E为CC1的中点证明如下：若E是CC1的中点，则E，设BD的中点为O，连接AC，OE，A1O.则O，(a，a,0)，则0，00，A1OE为二面角A1BDE的平面角0，则A1OE90，平面A1BD平面EBD.当E为CC1的中点时，能使平面A1BD平面EBD.6.已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABDC，DAB90，PD底面A
10、BCD，且PDDACD2AB2，M点为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在平面PAD内找一点N，使MN平面PBD.解析：(1)证明：PD底面ABCD，CDAB，CDAD.以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向向量，建立空间直角坐标系(如图所示)由于PDCDDA2AB2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0，1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面PAD，是平面PAD的法向量，且0，平面PAD.BM平面PAD.(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若MN平面PBD，则即在平面PAD内存在点N，使MN平面PBD.
