1、第二章空间向量与立体几何5 夹角的计算第15课时 直线间的夹角、平面间的夹角基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角、二面角与二面角的平面角、二面角与两平面所成的角的区别与联系，搞清它们各自的取值范围.2.灵活运用向量方法与综合方法，从不同的角度解决立体几何中角的问题.基础巩固一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知直线l1的方向向量s1(1,0,1)与直线l2的方向向量s2(1，2，2)，则l1和l2夹角的余弦值为()A.24 B.12 C.22 D.32C解析：因为s1(1,0,1)，s2(1,2，2)，所以coss
2、1，s2 s1s2|s1|s2|1223 22.又两直线夹角的取值范围为0，2，所以l1和l2夹角的余弦值为 22.2已知二面角-l-的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b3，则二面角-l-的大小为()A.3 B.23 C.3或23 D.6或3C解析：由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角-l-的大小为 3 或 23，故选C.3在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1的夹角余弦值为()A0 B.3 7070C3 7070D.7070A解析：建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，
3、C(0,2,0)，所以 BD1(2，2,3)，AC(2,2,0)所以cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|0.所以BD1，AC 90，所求角的余弦值为0.4把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为()A.3 B.2 C.23 D.43C解析：OE 12(OA OD)，OF 12(OB OC)，所以OE OF 14(OA OB OA OC OD OB OD OC)14|OA|2.又|OE|OF|22|OA|，所以cosOE，OF 14|OA|212|OA|2 12.所以EOF23.5如图，在三棱柱ABC-A1B
4、1C1中，侧棱AA1底面ABC，且BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A.12B.3010C.3015D.1510B解析：设向量CA a，CB b，CC1 c，|a|b|c|1，根据题意，得abbcca0.又BD1 CC1 C1D1 CB 12CA 12CB CC1 CB 12a12bc，AF1 CC1 12CA 12ac，|BD1|2(12a12bc)232，|BD1|62，同理，|AF1|52.又BD1 AF1(12a12bc)(12ac)34，cosBD1，AF1 BD1 AF1|BD1|AF1|3010，故选B.
5、6如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD的夹角的正切值为()A.36 B.34C.33 D.23 3D解析：如图所示，连接BD，ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设PAADAC1，则BD 3，则B32，0，0，F0，0，12，C0，12，0，D 32，0，0，OC 0，12，0 且为平面BDF的一个法向量，由BC 32，12，0，FB32，0，12.设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则nBC 32 x12y0，nFB 32 x12z0，不妨取x1，则y
6、 3z，所以n(1，3，3)所以cosn，OC nOC|n|OC|217，sinn，OC 2 77，所以tann，OC 2 33.7在三棱锥P-ABC中，ABC为正三角形，PA平面ABC且PAAB1，则平面PAB与平面PBC夹角的正切值为()A.6 B 6 C.62 D 62A解析：以A为原点，建立空间直角坐标系如图则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B32，12，0，C32，12，0，取AB中点M，则CM 为平面PAB的法向量，且CM 34，34，0，设平面PBC的法向量n(x，y，z)，则 nBC 0，nPC 0，即y0，32 x12yz0.令x1，则z 32，所以n1，0，32.cos
7、n，CM nCM|n|CM|3472 3277，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为77，所以夹角的正切值为 6.8如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD所成的角的余弦值为()A.33B.63C.13D.23B解析：以点A为坐标原点，AB，AD，AA1 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则A(0,0,0)，E(2,0,1)，F(0,2,1)，C(2,2,0)CE(0，2，1)，CF(2,0,1)平面ECF的一个法向量为n(1,1,2)设平面ECF与平面ABCD的夹角为.m(0,0,1)是
8、平面ABCD的一个法向量，cos|cosm，n|63.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9若异面直线l1与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2所成的角为.30解析：因为异面直线所成的角是锐角或者直角，直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，所以直线l1和直线l2所成的角是150的补角，即直线l1和直线l2所成的角是30.10正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为.25 5解析：取BC中点O，连接AO，DO建立如图所示的坐标系，设BC1，则A(0,0，32)，B(0，12，0)，D(32，0,0)所以OA(0,0，32)，BA(0，12，3
9、2)，BD(32，12，0)由于OA(0,0，32)为平面BCD的法向量，设平面ABD的法向量n(x，y，z)，则 nBA0，nBD 0，所以12y 32 z0，32 x12y0，取x1，则y 3，z1，所以n(1，3，1)，所以cosn，OA 55，sinn，OA 25 5.11如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1.则二面角O-AC-B的平面角的余弦值为.155解析：取O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，B(12，32，0)，则AB(32，32，0)，
10、CA(1,0，1)记平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由n CA，n AB，得xz032x 32 y0，易知可取n(1，3，1)；又平面OAC的一个法向量为e(0,1,0)，所以cosn，e1，3，10，1，05135 155.易知二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为，则cos 155.三、解答题(本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12分)在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，求直线AC与DE的夹角的余弦值解：如图，建立坐标系，则A(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，Ea，a2，0.AC(a，a，a)，
11、DE a，a2，0，cosAC，DE AC DE|AC|DE|1515.直线AC与DE的夹角的余弦值是 1515.13(13分)如图所示，在三棱锥S-ABC中，SO平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，BAC90，O为BC的中点，求二面角A-SC-B的余弦值解：因为SAB与SAC均为等边三角形，所以ABAC.连接OA，则OABC.以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设B(1,0,0)，则C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)设SC的中点为M，则M(12，0，12)，连接OM，AM.故MO(12，0，1
12、2)，MA(12，1，12)，SC(1,0，1)，所以MO SC0，MA SC0.所以MOSC，MASC.故 MO，MA 为二面角A-SC-B的平面角因为cosMO，MA MO MA|MO|MA|33，所以二面角A-SC-B的余弦值为33.能力提升14(5分)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1(包括端点A1、C1)上运动，异面直线BP与B1C的夹角为，则的取值范围是()A.32B02C.32D03C解析：建立如图所示空间直角坐标系，设棱长AB为1，则B(0,0,0)，C(0,1,0)，B1(0,0,1)，设P(a,1a,1)(0a1)
13、，则BP(a,1a,1)，B1C(0,1，1)，所以cosBPB1C|BP|B1C|a2a22a2 2 a2 a2a1.当a0时，cos0，当a0时，cos12111a 1a21211a12234，0a1，1a1，1a122341，当且仅当a1时“”成立，cos12.即0cos12.由02得，的取值范围为3，2.15(15 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABBC2AA1，ABC90，D 是 BC 的中点(1)求证：A1B平面 ADC1；(2)求平面 C1AD 与平面 ADC 的夹角的余弦值；(3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E，使 AE 与 DC1夹角为 60？若存在，
14、确定 E 点位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点又D为BC的中点，所以OD为A1BC的中位线，所以A1BOD，因为OD 平面ADC1，A1B/平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得BA，BC，BB1两两垂直以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设BA2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以AD(1，2,0)，A
15、C1(2，2,1)设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则有 nAD 0，nAC1 0.所以x2y0，2x2yz0.取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的一个法向量为v(0,0,1)所以cosn，v nv|n|v|23.所以所求的两平面夹角的余弦值为23.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，1)，其中02.所以AE(0，2,1)，DC1(1,0,1)因为AE与DC1的夹角为60，所以|cosAE，DC1|AEDC1|AE|DC1|12.即1221 2 12，解得1或3(舍去)所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1的夹角为60角谢谢观赏！Thanks!
