1、3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性A级必备知识基础练1.(多选题)下列函数在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=2x+1B.y=x2+7C.y=3-xD.y=x2+2x+12.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-,1)B.(1,+)C.(-,2)D.(2,+)3.已知函数f(x)在区间(-,+)上是减函数,若aR,则()A.f(a)f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)f(a)4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)f(1-a),则实数a的取值范围是()A.23,+B.23,1C.(0,2)
2、D.(0,+)5.函数y=f(x)(x-4,4)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为()A.-4,-2B.-2,1C.1,4D.-4,-21,46.(多选题)下列命题是假命题的有()A.定义在区间(a,b)上的函数f(x),如果有无数个x1,x2(a,b),当x1x2时,有f(x1)f(x2),那么f(x)在区间(a,b)上为增函数B.如果函数f(x)在区间I1上单调递减,在区间I2上也单调递减,那么f(x)在区间I1I2上单调递减C.任取x1,x2(a,b),且x1x2,当f(x1)-f(x2)x1-x20时,函数f(x)在区间(a,b)上单调递增7.若函数y=ax与y=-bx在区
3、间(0,+)上都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(0,+)上()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x-2,+)时,f(x)单调递增,当x(-,-2时,f(x)单调递减,则m=.9.(2022福建福州高一期末)已知函数f(x)=x2-(a-1)x+2a,且f(1)=3.(1)求实数a的值;(2)判断f(x)在区间(-,0上的单调性并用定义证明.B级关键能力提升练10.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间1,2上都单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-1,0)(0,1C.(0,1)D.(
4、0,111.下列有关函数单调性的说法不正确的是()A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数12.若函数f(x)在(-,+)上是减函数,a,bR且a+b0,则下列选项正确的是()A.f(a)+f(b)-f(a)+f(b)B.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)-f(a)+f(b)D.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)13.若函数
5、f(x)=x2+2ax+3,x1,ax+1,x1是定义域上的减函数,则实数a的取值范围为.14.已知函数f(x)=ax+1x+2,若x1x2-2,则f(x1)f(x2),则实数a的取值范围是.15.已知函数f(x)=mx+1nx+12(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=114.(1)求m,n的值;(2)当x1,+)时,判断f(x)的单调性并证明;(3)若不等式f(1+2x2)f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.C级学科素养创新练16.已知函数f(x)=x2+ax(x0,aR),若函数f(x)在区间2,+)上单调递增,则a的取值范围为.17.设f(x)是定义在R上的函数,对任意
6、m,nR,恒有f(m+n)=f(m)f(n)(f(m)0,f(n)0),且当x0时,0f(x)0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性1.ABD函数y=3-x在区间(0,+)上单调递减.2.B易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为直线x=1,所以其单调递减区间是(1,+).3.D选项D中,因为a2+1a,f(x)在区间(-,+)上是减函数,所以f(a2+1)f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.4.B因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)1-a,-12a-11,
7、-11-a1,解得23a1,所以实数a的取值范围是23,1.故选B.5.B6.ABA是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”;以f(x)=1x为例,知B是假命题;f(x1)-f(x2)x1-x20(x1x2)等价于f(x1)-f(x2)(x1-x2)0,x1-x20或f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),x1x2或f(x1)x2,f(x)在区间(a,b)上单调递减,C是真命题,同理可得D也是真命题.7.B由于函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)上都单调递减,所以a0,即a0,b0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-b2a0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax2+
8、bx在区间(0,+)上单调递减.8.-8函数f(x)在区间(-,-2上单调递减,在区间-2,+)上单调递增,对称轴x=-b2a=m4=-2,m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.9.解(1)由f(1)=3,得1-(a-1)+2a=3,解得a=1.(2)由(1)知f(x)=x2+2,其定义域为R,f(x)在区间(-,0上单调递减.证明如下:任取x1,x2(-,0,且x1x2,f(x1)-f(x2)=x12+2x22+2=(x12+2-x22+2)(x12+2+x22+2)x12+2+x22+2=(x12+2)-(x22+2)x12+2+x22+2=x12-x22x12+2+x22+2=(x1-
9、x2)(x1+x2)x12+2+x22+2.因为x10,x20,且x1x2,所以x1+x20,x1-x20,则f(x1)-f(x2)0,所以f(x1)f(x2),故f(x)在区间(-,0上单调递减.10.Df(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,f(x)在区间1,2上单调递减,a1.g(x)=ax+1在区间1,2上单调递减,a0,0a1.11.C根据增函数、减函数的定义,知两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x)为减函数,选项D正确;对于C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x
10、)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-12x时,f(x)+g(x)=x2+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.12.D因为a+b0,所以a-b,b-a,又函数f(x)在区间(-,+)上是减函数,所以f(a)f(-b),f(b)f(-a),所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).13.-3,-1由题意可得-a1,ax2-2,则f(x1)f(x2)”可知函数f(x)在区间(-2,+)上单调递增.而f(x)=ax+1x+2=a+1-2ax+2,故有1-2a12
11、,即a的取值范围为12,+.15.解(1)f(1)=m+1n+12=2,f(2)=2m+12n+12=114,m=1,n=2.(2)f(x)在区间1,+)上单调递增.证明如下,由(1)得f(x)=x+12x+12.设1x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12x2+12x2+12=(x1-x2)1-12x1x2=(x1-x2)2x1x2-12x1x2.1x1x2,x1-x21,2x1x2-11,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)x2-2x+4,x2+2x-30,解得x1.即实数x的取值范围为(-,-3)(1,+).16.(-,16任取x1,x22,+),且x10,f(x2)-
12、f(x1)=x22+ax2x12ax1=x2-x1x1x2x1x2(x1+x2)-a.要使函数f(x)在区间2,+)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)0在2,+)上恒成立.x2-x10,x1x240,a4,x1x2(x1+x2)16,a16,即a的取值范围是(-,16.17.证明(1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)f(n),f(n)0,f(0)=1.(2)由题意知,当x0时,0f(x)0;当x0,0f(-x)0.故xR时,恒有f(x)0.(3)设任意的x1,x2R,且x1x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2).f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2)-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-1.由(2)知,f(x2)0.x1-x20,0f(x1-x2)1,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在R上是减函数.
