1、31.3空间向量的数量积运算空间向量的夹角提出问题如图所示，已知平面向量a，b.问题1：试作出向量a，b的夹角提示：如图，AOB为a和b的夹角问题2：若a，b为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出提示：有；在空间取一点O，作a，b，则AOB为两向量的夹角导入新知如果a，b，那么向量a，b互相垂直，记作ab.化解疑难1由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为.2对空间任意两个非零向量a，b，有：(1)a，bb，aa，bb，a；(2)a，ba，ba，b.空间向量的数量积提出问题问题1：平面向量的数量积ab是怎样定义的？提示：ab|a|b|cos
2、a，b问题2：类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间向量数量积定义吗？提示：能，ab|a|b|cosa，b问题3：空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗？提示：满足导入新知1空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)运算律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.2空间向量数量积的性质序号性质(1)ae|a|cosa，e(其中e为单位向量)(2)若a，b为非零向量，则abab0(3)aa|a|2或|a|(4)若a，b为非零向量，则cosa，b(5)|ab|a|b|(当且仅
3、当a，b共线时等号成立)化解疑难1向量a，b的数量积记为ab，而不能表示为ab或ab.2向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角的余弦值的符号决定：为锐角时，ab0，但ab0时，可能为0；为钝角时，ab0，但ab0时，可能为.3向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即abacbc，(ab)ca(bc)都不成立空间向量的数量积的运算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：(1)；(2)；(3).解(1)|cos，cos 60.(2)|2.(3)()|cos，|cos，cos 60cos 600.类题通法求向量的数量积的关键是求两个向量的模
4、和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值活学活用如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：(1)；(2)()()解：(1)aacos 60a2.(2)()()()()a2a2cos 602a2cos 60a2cos 60a22a2cos 60a2.利用空间向量的数量积求夹角例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求与夹角的大小解不妨设正方体的棱长为1，()()()()2020021，又| |，|，cos，.，0，.与夹角的大小为.类题通法(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另
5、一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小(2)由两个向量的数量积定义得cosa，b，求a，b的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出a，b的余弦值，进而求a，b的大小在求ab时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出ab的值活学活用如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值解：，且0，1.又|，|，cos，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.利用空间向量的数量积证明垂直例3已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明ABCD，ACBD，0，0.()() ()0.，从而ADBC
6、.类题通法当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定活学活用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明：设a，b，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.()cab，ba，()abc.(ba)cbcaaba2b2ba(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是，即A1OBD.同理可证，即A1OOG.又OGBDO，A1O平面GBD.利用空间向量数量积求距离(
7、即线段长度)例4在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|ND|，求|MN|.解()(). 222a2a2a2a2a2a2a2.故| a，即|MN|a.类题通法求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|，通过计算求出|a|，即得所求距离活学活用如图所示，在ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，PA6，求线段PC的长解：，|2()2|2|2|22226242322|cos 120611249.|7，即PC7.典例如图，在120的二面角l中，Al，Bl，AC，
8、BD，且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，试求线段CD的长解ACAB，BDAB，0，0.又二面角AB的平面角为120，60，CD2|2()22222()362262cos 60144，CD12.易错防范1求解时，易混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，易把，60错解为，120，此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角2对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错成功破障如图所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别为AB，AD的中点，求.解：|cos，cos 120.随堂即时演练1
9、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有()A2a2Ba2Ca2 Da2解析：选C()(2)2|2a2.2在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A. B.C D0解析：选D如图所示，()|cosAOC|cosAOB0，cos，0.3已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135，mn，则_.解析：由mn(ab)(ab)|a|2(1)ab|b|20，得18(1)34cos 135160，可得181212160，解得.答案：4如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|_，|_.解析：
10、|2.，22cos 602，故|2 2224243，故|.答案：25如图所示，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.求证：BD平面ADC.证明：不妨设ADBDCD1，则ABAC.()，由于()1，|cos 601.0，即BDAC.又BDAD，BD平面ADC.课时达标检测一、选择题1正方体ABCDABCD中，()A30B60C90 D120解析：选D因为BDBD，所以AB，BD的夹角即为AB，BD的夹角因为ABD为正三角形，所以ABD60.由向量夹角的定义可知，120，即，120.2已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角
11、是()A60 B120C30 D90解析：选Bab(e1e2)(e12e2)ee1e22e1112，|a|，|b|.cosa，b.a，b120.3.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()ABCD与不能比较大小解析：选C易知AEBC，0，()()|cos 120| cos 120|cos 1200.4已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A与 B与C与 D与解析：选A用排除法，因为PA平面ABCD，所以PACD，故0，排除D；因为ADAB，PAAD，又PAABA，所以AD平面PAB，所以ADP
12、B，故0，排除B；同理0，排除C.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60；正方体的体积为|.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B如图所示，()2()2232；()0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60，故与的夹角为120；正方体的体积为|.综上可知，正确二、填空题6已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.解析：|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.答案：227已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，如图，则PC等于_解
13、析：，|2()2222222363636002|cos 60108266144.PC12.答案：128已知a，b是异面直线，点A，Ba，点C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_解析：，()|21，cos，异面直线a，b所成角是60.答案：60三、解答题9已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值解：如图所示，设a，b，c，|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca.()(ab)，cb，又|，(ab)acbcabb2，cos，.异面直线OE与BF所成角的余弦值是.10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)由(1)知|cos，221.又|，cos，|2，即侧棱长为2.
