1、第二章空间向量与立体几何6 距离的计算第17课时 距离的计算基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式，并能求两条直线间的距离、平行平面间的距离.3.通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确无误的运算能力.基础巩固一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1已知直线 l 过定点 A(2,3,1)，且 n(0,1,1)为其一个方向向量，则点 P(4,3,2)到直线 l 的距离为()A.3 22 B.22 C.102 D.2A解析：PA(2,0，1)，|PA|5，|PAn|n|2
2、2，则点 P 到直线 l 的距离 d5123 22.2三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别是 2,2,3，则其顶点到底面的距离为()A.73 B.17 C.3 2211 D.173C解析：V棱锥162232，S底面122 2 11 22，h 6223 2211.3如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1A5，AB12，则直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离是()A5 B.132C.6013D8C解析：B1C1BC，且B1C1/平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离为所求距离方法一：过点B1作B1EA1B于点E.B
3、C平面A1ABB1，且B1E 平面A1ABB1，BCB1E.又BCA1BB，B1E平面A1BCD1，在RtA1B1B中，B1EA1B1B1BA1B 125521226013，直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.方法二：以D为坐标原点，DA，DC，DD1 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0)，平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)，由n BC，nCD1，得n BC(a，b，c)(x,0,0)ax0，n CD1(a，b，c)(0，12,5)12b5c0，a0，b 5
4、12 c，令c12，则b5，n(0,5,12)为平面A1BCD1的一个法向量又 B1B(0,0，5)，点B1到平面A1BCD1的距离d|B1B n|n|6013.4已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD的长等于()A3 B4 C5 D6C解析：AB(4，5,0)，AC(0,4，3)，|AC|5，|AD|A BAC|AC|205 4，AC边上的高BD|AB|2|AD|2 41165.故选C.5设P是60的二面角-l-内一点，PA平面，PB平面，A、B为垂足，PA4，PB2，则AB的长为()A2 3 B2 5 C2 7 D4 2C解析：PA，PB.
5、又二面角l为60，PA，PB120.又|PA|4，|PB|2.ABPBPA，|AB|2|PB|2|PA|22|PB|PA|cosPA，PB|AB|2416224cos12028.|AB|2 7，故应选C.6ABC中，C90，点P在ABC外，PC17，点P到AC、BC的距离PEPF13，则点P到平面ABC的距离为()A7 B8 C9 D10A解析：如图，PEPF13，P在面ABC的射影位于ACB的平分线CM上，作POCM，连接OE，PE13，PC17CE2 30，则OE2 30，PO PE2OE2 1691207.故选A.7已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若点P在正方体内部且满足AP3
6、4AB12AD 23AE，则点P到AB的距离为()A.56 B.18112 C.10 306 D.56A解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则AP 34(1,0,0)12(0,1,0)23(0,0,1)(34，12，23)又AB(1,0,0)，AP在AB上的投影为APAB|AB|34，8如图，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1间的距离为()A.2 B.3 C.23 D.33D解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B
7、1(1,0,1)，D1(0,1,1)设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则nAB1 0nAD1 0，xz0yz0.令z1，则n(1,1，1)，显然n BD 0，n BC1 0，n也是平面BDC1的一个法向量，平面AB1D1平面BDC1，所求距离为|ABn|n|33.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9已知向量n(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(4，0,2)到直线l的距离为.10如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为.36 6161217解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，
8、A32，12，0，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，C1A 32，12，1，C1B1(0,1,0)，C1B(0,1，1)设平面 ABC1 的法向量为 n(x，y,1)，则C1A n0，C1B n0，解得 n33，1，1.则 d|C1B1 n|n|11311 217.11棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别是线段BB1，B1C1 的中点，则直线 MN 到平面 ACD1 的距离为.32解析：如图，以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 为 x、y、z轴建立空间直角坐标系则平面 ACD1 的一个法向量为(1,1,1)，M(1,1，12)，A(
9、1,0,0)，AM(0,1，12)，点 M 到平面 ACD1 的距离为 d|0，1，121，1，1|3 32.又MN 12AD1，MN/平面 ACD1.故 MN平面 ACD1，故 MN到平面 ACD1 的距离也为 d 32.三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)设直线 l 过 A(1,2,3)，B(2,3,1)两点，求点 O(0,0,0)到直线 l 的距离解：方法一：设 OHl 于 H(x，y，z)，由OH AB0 xy2z0由AH ABx11 y21 z32 x32，y52，z2，H(32，52，2)，d|OH|5 22.方法二：
10、OA(1,2,3)，AB(1,1，2)设 O 点到直线 l 的距离为 h.则1432252 5 22.13(13 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面 ABCD，且 PD1，E，F 分别为 AB，BC 的中点(1)求点 D 到平面 PEF 的距离；(2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离解：(1)以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1，12，0，F12，1，0.连接 DE，DF.设 DH平面 PEF，垂足为 H，则DH xDE yDF zDPx12y，12xy，z(xyz1)PE1，12，1，PF12，1，1.所
11、以DH PEx12y1212xy z54xyz0.同理DH PFx54yz0，又因为 xyz1，所以可解得 xy 417，z 917，所以DH 317(2,2,3)所以|DH|317 17.即 D 到平面 PEF 的距离为3 1717.(2)设 AH平面 PEF，垂足为 H.则AH DH.设AH(2,2,3)(2，2，3)(0)，则EH EAAH0，12，0(2，2，3)2，212，3，所以AH EH 4242920，即 117，所以AH 117(2,2,3)，所以|AH|1717.而 AC平面 PEF，因此 AC 到平面 PEF 的距离为 1717.能力提升14(5分)如图，在棱长为1的正方
12、体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()A.3 B.22C.23 D.55D解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)，E1，0，12，F1，1，12，G(1，1)，EF(0,1,0)，D1F 1，1，12，设n(x，y，z)是平面D1EF的法向量，则 nEF0，nD1F 0，得y0，xy12z0.令x1，得n(1,0,2)设G在平面D1EF的射影为H，连接GD1，因GD1(1，0)，故|GH|GD1 n|n|55.故选D.15(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面A
13、BCD，侧棱PAPD2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由解：在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图所示空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，CP(1,0,1)，CD(1，1,0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为32，设Q(0，y,0)(1y1)，CQ(1，y,0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则 nCP 0，nCD 0，x0z00，x0y00，即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离为d|CQ n|n|1y|3 32，y12或y52(舍去)此时|AQ|12，|QD|32.存在点Q满足题意，此时AQQD13.谢谢观赏！Thanks!
