1、单元质检卷八平面解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东枣庄二模)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p0)上,则抛物线C的焦点到其准线的距离为()A.14B.12C.1D.22.(2021河北石家庄模拟)已知椭圆C:x2m+4+y2m=1的离心率为33,则椭圆C的长轴长为()A.23B.4C.43D.83.(2020全国,理4)已知点A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.94.设双
2、曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若双曲线C的一条渐近线与直线l平行,另一条渐近线与直线l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=15.(2021江苏南通一模)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20,则椭圆C的标准方程为()A.x25+y24=1B.x225+y216=1C.y25+x24=1D.y225+x216=16
3、.(2021广东梅州二模)F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P(2,3)在双曲线C上,且F1F2F2P,则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.127.(2021北京房山二模)设F1,F2是双曲线C:x23-y2=1的两个焦点,点O为坐标原点,点P在双曲线C上,且|OP|=|OF1|,则PF1F2的面积为()A.52B.2C.32D.18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点A是椭圆的下顶点,直线AF2交椭圆于另一点P,若|PF1|=|PA|,则椭圆的离心率为()A.33B.13C.22D.12二、选择题:
4、本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为()A.x29+y216=1B.x225+y216=1C.x216+y29=1D.x216+y225=110.(2021福建厦门外国语学校模拟)已知双曲线的方程为x29-y27=1,则下列说法正确的是()A.焦点为点(2,0)B.渐近线方程为7x3y=0C.离心率e=43D.焦点到渐近线的距离为14411.设圆锥曲线有两个焦点F1,F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|
5、=432,则曲线的离心率等于()A.12B.23C.32D.212.(2021河北沧州三模)已知斜率为k的直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点.抛物线C的准线上一点M(-1,-1),满足MAMB=0,则()A.p=2B.k=-2C.|AB|=5D.MAB的面积为552三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知椭圆C的焦点在x轴上,且离心率为12,则椭圆C的方程可以为.14.(2021北京顺义二模)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距等于实轴长的3倍,则双曲线C的渐近线方程为.15.(2021山东淄博一模)若抛物线y2=2px
6、(p0)上的点A(x0,-2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于.16.(2021浙江,16)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c0),若过点F1的直线和圆x-12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2x轴,则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求符合下列要求的曲线的标准方程:(1)已知椭圆的焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为12;(2)已知双曲线过点A(-7,-62),B(27,3).18.(12分)(2021湖南高三模拟)已
7、知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x-y=0.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知倾斜角为34的直线l与双曲线C交于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4,求直线l的方程.19.(12分)已知抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点与双曲线C2:x24-y212=1的右顶点重合.(1)求抛物线C1的标准方程;(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A,B,点F是抛物线C1的焦点,且FAFB=1,求直线l的方程.20.(12分)(2021福建龙岩三模)已知ab0,曲线由曲线C1:x2a2+y2b2=1(y0)和曲线C2:x
8、2a2-y2b2=1(y0,b0)上一动点P,左、右焦点分别为F1,F2,且F2(2,0),定直线l:x=32,PMl,点M在直线l上,且满足|PM|PF2|=32.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线l0的斜率k=1,且l0过双曲线右焦点与双曲线右支交于A,B两点,求ABF1的外接圆方程.22.(12分)已知抛物线C:y2=4px(p0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:x-m(y+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,是否存在实数m使|MA|MB|=642?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.单元质检卷八平面解析几何
9、1.B解析因为点(1,1)在抛物线上,所以1=2p,所以p=12,所以C的焦点到其准线的距离为12.故选B.2.C解析由题可知c2=m+4-m=4,所以c=2.又因为e=2m+4=33,所以m=8,所以椭圆C的长轴长为2m+4=43.故选C.3.C解析设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9.由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.4.D解析抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则直线l的方程为y=-b(x-1).双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,且双曲线C的一条渐近线与直线l平行,另一条渐近线与直线l垂直,
10、-ba=-b,ba(-b)=-1,a=1,b=1,双曲线C的方程为x2-y2=1.故选D.5.D解析设椭圆C的标准方程为y2a2+x2b2=1(ab0),焦距为2c,则ca=35,ab=20,a2=b2+c2,解得a=5,b=4.故选D.6.A解析由题可知,c=2,b2a=3,且c2=a2+b2,所以a=1,b=3,所以e=ca=2.故选A.7.D解析由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0).由题可知a=3,c=2.因为|OP|=|OF1|=12|F1F2|,所以点P在以线段F1F2为直径的圆上,所以PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
11、,即|PF1|2+|PF2|2=16.又|PF1|-|PF2|=2a=23,所以12=|PF1|-|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=16-2|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=2,所以SF1F2P=12|PF1|PF2|=1.故选D.8.A解析由题可知|AF1|=|AF2|=a,|PF1|+|PF2|=2a.因为|PF1|=|PA|,所以|PF2|=12a,|PF1|=32a,cosAPF1=32a2+32a2-a2232a32a=12a2+32a2-4c2212a32a,化简得a2=3c2.又e=ca(0,1),所以椭圆的离心率为33.故选A.9.BD解
12、析因为2c=6,所以c=3.又2a+2b=18,a2=b2+c2,所以a=5,b=4,所以椭圆方程为x225+y216=1或x216+y225=1.故选BD.10.BC解析由题可知a=3,b=7,c=9+7=4,则双曲线的焦点为点(4,0);渐近线方程为y=bax=73x,即7x3y=0;离心率e=ca=43;焦点(4,0)到渐近线7x+3y=0的距离为d=|47|7+9=7.故选BC.11.AC解析设圆锥曲线的离心率为e.令|PF1|F1F2|PF2|=432.若圆锥曲线为椭圆,则e=|F1F2|PF1|+|PF2|=34+2=12;若圆锥曲线为双曲线,则e=|F1F2|PF1|-|PF2|
13、=34-2=32.综上,曲线的离心率为12或32.故选AC.12.ABD解析由题可知p2=1,所以p=2,故选项A正确;因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,所以其焦点为F(1,0).因为直线l过抛物线的焦点,所以直线l的方程为y=k(x-1).因为MAMB=0,所以点M在以线段AB为直径的圆上.设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组y12=4x1,y22=4x2,两式相减得y1-y2x1-x2=4y1+y2=k.设AB的中点为Q(x0,y0),则y0=2k.又点Q(x0,y0)在直线l上,所以x0=2k2+1,所以点Q2k2+1,2k是以线段AB为直径的圆的圆心.由抛物线的定
14、义知,圆Q的半径r=|AB|2=x1+x2+22=2x0+22=2k2+2.因为|QM|2=2k2+22+2k+12=r2,所以2k2+22+2k+12=2k2+22,解得k=-2,故选项B正确;因为k=-2,所以弦长|AB|=2r=22k2+2=5,故选项C不正确;因为k=-2,所以直线l的方程为2x+y-2=0,所以点M到直线l的距离d=|-5|5=5,所以SMAB=12d|AB|=1255=552,故选项D正确.故选ABD.13.x24+y23=1(答案不唯一)解析因为焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).又因为离心率为12,所以ca=12,所以c2a2=a2
15、-b2a2=14,即b2a2=34.14.2x-y=0或2x+y=0解析因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距等于实轴长的3倍,所以2c=23a,即c=3a,所以ca=3.又因为ba=ca2-1=2,所以双曲线C的渐近线方程为y=2x.15.22解析由题可知抛物线y2=2px(p0)开口向右,准线方程为x=-p2.将点A的坐标代入抛物线方程得4=2px0,即x0=2p.因为抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,-2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,所以x0+p2=3x0,所以2p+p2=32p,所以p2=8,所以p=22.16.25555解析不妨设c=2,切点为B,
16、则sinPF1F2=sinBF1A=|AB|F1A|=23,tanPF1F2=232-22=255,所以k=255.又k=|PF2|F1F2|,|F1F2|=2c=4,所以|PF2|=855,所以|PF1|=1255,所以2a=|PF1|+|PF2|=45,即a=25,所以e=ca=225=55.17.解(1)设所求的椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题可知2a=12,即a=6,且离心率e=ca=12,所以c=3,所以b2=a2-c2=62-32=27,所以所求椭圆的标准方程为x236+y227=1.(2)设所求的双曲线方程为mx2+ny2=1,由题可得49m+72n=1,28
17、m+9n=1,解得m=125,n=-175,所以所求双曲线的标准方程为x225-y275=1.18.解(1)由题可知c=5.因为双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0,所以ba=2.又c2=a2+b2,所以5=a2+4a2,解得a2=1,b2=4,所以双曲线C的标准方程为x2-y24=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点的坐标为(x0,4),则x12-y124=1,x22-y224=1.-得x22-x12=y224-y124,所以y2-y1x2-x1=4x2+x1y2+y1,即k=4x0y0=4x04=x0.又k=tan34=-1,所以x0=-1,所以直线l的方程为y-4=
18、-(x+1),即x+y-3=0.19.解(1)由题可知,双曲线C2:x24-y212=1的右顶点为(2,0),p2=2,p=4,抛物线C1的标准方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题可知直线l的斜率存在且不为零,故设直线l的方程为y=kx+1(k0).联立y=kx+1,y2=8x,得k2x2+(2k-8)x+1=0.由0得(2k-8)2-4k20,k0).联立x=my-6,x220+y216=1,得(5+4m2)y2-48my+64=0.5+4m20,=(48m)2-464(5+4m2)0,且m0,m1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=48m5+
19、4m2,y1y2=645+4m2,|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=165m2-15+4m2,ABF1面积S=12|F1F2|y1-y2|=128165m2-15+4m2=645m2-15+4m2.令t=m2-10,则m2=t2+1,S=645t4t2+9=6454t+9t1653,当且仅当t=32,即m=132时等号成立,ABF1面积的最大值为1653.21.解(1)设点P(x,y).|PF2|PM|=233,(x-2)2+y2x-32=233,(x-2)2+y2=43x-322,1+y2=x23,双曲线的标准方程为x23-y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由
20、题可知直线l0:y=x-2,联立y=x-2,x23-y2=1,得2x2-12x+15=0,x1+x2=6,x1x2=152.又y1+y2=x1+x2-4,AB中点为M(3,1).又ABF1外接圆圆心在AB的垂直平分线l1上,l1:y=-x+4.|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=23.设圆心(x0,y0)满足y0=-x0+4,(x0-3)2+(y0-1)2+(3)2=(x0+2)2+y02,解得x0=18,y0=318,半径R=18+22+3182=62532,外接圆方程为x-182+y-3182=62532.22.解(1)因为点M到点F的距离比到y轴的距离大p,所以点M到点F的距离与到
21、直线x=-p的距离相等,所以点M在抛物线C上,所以4=4p,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)存在.联立y2=4x,x-m(y+2)-5=0,得y2-4my-8m-20=0.由题可知=16m2+4(8m+20)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4(2m+5).因为MAMB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=y124-1y224-1+(y1-2)(y2-2)=y12y2216-(y1+y2)2-2y1y24+y1y2-2(y1+y2)+5=16(2m+5)216-(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MAMB,即MAB为直角三角形.设d为点M到直线l的距离,则|MA|MB|=|AB|d=1+m2(y1+y2)2-4y1y24|1+m|1+m2=4|1+m|16m2+16(2m+5)=16|1+m|(m+1)2+4=642,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0,解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍去),所以m=1或m=-3,所以当实数m=1或m=-3时,|MA|MB|=642.
