1、广东省珠海二中2020届高三数学下学期线上检测试题 理（含解析）一.选择题：1.如图，已知全集U=Z，集合A2，1， 0， 1， 2，集合B=1，2，3，4，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. 3，4B. 2，1，0C. 1，2D. 2，3，4【答案】A【解析】【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案.【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是.故选：A【点睛】本题考查了韦恩图表示的集合，属于基础题.2.已知z=(i为虚数单位)，在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即
2、可得出.【详解】，所以在复平面内共轭复数对应点在第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则以及复数的几何意义，属于基础题.3.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先令a，b，c与1比，求出a，b，c与1大小关系，然后再利用函数单调性确定大小关系.【详解】因为，又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查了指数对数函数的大小比较，属于基础题.4.已知实数满足，则的最小值为（ ）A. 7B. 6C. 1D. 6【答案】A【解析】【分析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示
3、：由图可知向上平移直线，到边界的位置时，取得最小值，此时 故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题5.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且mn则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件求出的值，然后再根据至少进入一个社团的概率求出.【详解】由题知三个社团都能进入的概
4、率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为，即，整理得.故选：C.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.6.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆内的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】 时，打印点不在圆内， ， 是；打印点 不在圆内， ， 是；打印点在圆内， ， 是；打印点 在圆内， ，是；打印点在圆内， ，是；打印点在圆内， ， 否，结束，所以共4个点在圆内，故选C. 7.已知F为双曲线的右焦点，过F做C的渐近线的垂线FD，垂足为D，且满足（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C
5、. 3D. 【答案】A【解析】【分析】根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值.【详解】由题知，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为，所以，整理得.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.8.函数（且）的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数极值点的个数，求出的值，推出结果即可.【详解】函数（且）是偶函数，排除B；当时，可得：，令，作出与图像如图：可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，排除C；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，排除A故选：D【点睛】本题考查了与
6、三角函数有关图像的识别，利用导数判断函数的单调性、考查了数形结合的思想、转化的思想，属于中档题.9.如图，在中，则（ ）A. B. 3C. D. -3【答案】A【解析】【分析】首先对中向量进行分解，转化为已知向量的数量积，然后利用向量数量积的公式求解即可.【详解】由题知，因为，所以，又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查了向量的分解，向量数量积的运算，属于基础题.10.1772年德国的天文学家波得发现了求太阳的行星距离的法则，记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：星名水星金星地球火星木星土星与太阳的距离47101652100除水星外，其余各星与太
7、阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐经过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带，请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是（ ）A. 388B. 772C. 1540D. 3076【答案】B【解析】【分析】根据题中表格中距离的规律，求出距离的通式，然后即可求出第10个行星与太阳的平均距离.【详解】设金星到太阳的距离为，地球到到太阳的距离为，以此类推，可知第个行星到太阳的距离为，由表格可以得到，故可得到规律，设，有，故
8、，所以第10个行星与太阳的平均距离大约是.故选：B.【点睛】本题考查了累加法，求等比数列的和，属于基础题.11.已知点A，B关于坐标原点O对称，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2y，把|MA|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标【详解】解：线段AB为M的一条弦O是弦AB的中点，圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2|MA|2，M与直线2y10相切，|MA|y|，|y|2|O
9、M|2+|OA|2x2+y2，整理得x2y，M的轨迹是以F（0，）为焦点，y为准线的抛物线，|MA|MP|y|MP|y|MP|MF|MP|，当|MA|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（0，），存在定点P（0，）使得当A运动时，|MA|MP|为定值故选：C.【点睛】本题主要考查了点轨迹方程的求解，抛物线的定义，属于一般题.12.已知偶函数满足，且当时，若关于x的不等式在上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据题中条件求出函数的周期和对称轴，再根据函数的单调性求出函数在上整数解的分布，即可求出实数a的取值范围.【详
10、解】由题知偶函数满足，所以，所以函数的周期为，且关于直线对称，当时，因为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取极大值，也是最大值，且，所以，由于上含有个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，所以不等式在上有且只有300个整数解，等价于不等式在上有且只有3个整数解，所以只需在上有且只有3个整数解即可，易知这三个整数解分别为,，有，故选：D.【点睛】本题考查了函数的周期性，利用导数求解函数的单调性，属于一般题.二.填空题：13.已知，则_.【答案】【解析】【分析】首先根据题中条件求出，确定角的范围，然后根据同角三角函数公式求出角的正余弦值，即可得答案.【详解】由题知，又因为，且，所
11、以，有，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正切的和角公式，三角函数同角公式，属于基础题.14.若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是_.【答案】【解析】【分析】首先利用展开式的二项式系数和是求出，然后即可求出二项式的常数项.【详解】由题知展开式的二项式系数之和是，故有，可得，知当时有.故展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用二项式系数和求参数，求二项式的常数项，属于基础题.15.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为_.【答案】【解析】【分析】首先根据题中条件求出球半径，然后根据半径就出三棱锥的高，再根据三角
12、形面积公式即可计算出侧视图的面积.【详解】根据题中三视图还原几何体如下图所示，设正三棱锥的外接球半径为，球心为，过正三棱锥顶点做底面的垂线，垂足为，设，由题知外接球体积为，因为三棱锥底面边长为，又因为底面为正三角形，所以可知底面三角形的外接圆半径为，在中，由勾股定理有，侧视图面积即为面积，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，几何体的三视图，属于基础题.16.在ABC中，设角A，B，C对应的边分别为，记ABC的面积为S，且，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知，整理得，因为，代入整理得，令
13、，有，所以，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.三.解答题：17.已知为单调递增的等差数列，设数列满足，.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据等差数列的性质求出，然后再求出数列的公差，最后根据等差数列的通项公式即可求出数列的通项；（2）首先设数列，利用题中条件求出数列的通项，根据即可求出数列的通项，最后根据数列的通项公式求和即可.【详解】（1）设数列公差为且，由题知，有，所以；（2）设数列，且数列的前项和为，由题有，当时，当时，整理得，且时也满足，故，可知数列
14、是以首项，公比的等比数列，故.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，等比数列通项公式的求解，属于一般题.18.如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，平面AEFC平面ABCD，EFAC，AE=AB，AC=2EF.（1）求证：平面BED平面AEFC；（2）若四边形AEFC为直角梯形，且EAAC，求二面角B-FC-D的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）首先根据题中条件证明线面垂直，然后根据线面垂直证明面面垂直.（2）首先建立空间直角坐标系，然后求出点的坐标，求出平面法向量，利用二面角公式求出二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，
15、所以，又因为平面AEFC平面ABCD，平面AEFC平面ABCD，平面ABCD，所以平面AEFC，又因为平面，所以平面BED平面AEFC.（2）建立如图所示空间直角坐标系可知，点，则,设为平面的法向量，为平面的法向量，由，解得，设二面角B-FC-D为，所以【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，利用空间向量求解二面角的余弦值，属于一般题.19.某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若，每单提成3元，若，每单提成4元，若，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若，每单提成3元，若，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员
16、工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x（单）131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量x（单）111314151618天数4512351（1）设美团外卖配送员月工资为，饿了么外卖配送员月工资为，当时，比较 与的大小关系（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率（）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）（）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由【答案】（1）见解析；（2） （）见解析（）见解析【解析】【分析】（1）
17、由 （300，600，得，由此通过作差能比较当时，与的大小关系（2）（）求出送餐量x的分布列和送餐量y的分布列，由此能求出外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望和（），美团外卖配送员，估计月薪平均为元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为元3720元，由此求出小王应选择做饿了么外卖配送员【详解】（1）因为，所以，当（300，400时，当（400，600时，故当（300，400时， 当（400，600时，（2）（）送餐量 的分布列为X131416171820P送餐量的分布列为Y111314151618P则，（），美团外卖配送员，估计月薪平均为元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为元3720元，故小王应选
18、择做饿了么外卖配送员【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知椭圆的右焦点F到左顶点的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设O是坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交椭圆与点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆方程中基本量的关系与右焦点F到左顶点的距离，即可求出椭圆基本量，即得椭圆方程；（2）首先联立方程组，利用韦达定理表示出四边形的面积，根据面积表达式的函数单调性求出面积的最值即可.【详解】（1）由题知，解得，所以
19、椭圆；（2）因为过点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上），设，联立，设，有，因为，所以四边形AOBE是平行四边形，所以，有，令，有，当时单调递减，所以当时面积取最大值，最大值为.【点睛】本题主要考查了椭圆方程基本量的求解，椭圆中三角形的面积计算，属于一般题.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，证明：【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先对函数求导，根据韦达定理与判别式确定二次函数根的分布，然后根据函数值的正负确定函数的单调性；（2）首先求出，然后在对求出的表达式进行切线缩放即可证明不等式.【详解】（1）由题知函数的定义域为，
20、有，对有，当时，有，所以函数在上单调递增，当时，有两个根，设，根据韦达定理有，当时，有两个正根，可知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，有两个根，可知当时，函数单调递减，可知当时，函数单调递增；（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，设，根据（1）中单调性可知函数在处取极大值，处取极小值，所以，代入，整理得，令，有，有，因为，代入有.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数单调性，判断含有参数的二次函数根的分布情况，放缩法证明不等式，属于难题.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
21、（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线C和直线的直角坐标系方程；（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.【答案】（1）曲线，直线；（2）.【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数即可求出曲线方程，根据直线的极坐标方程，根据极坐标与直角坐标转换的公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由于点，均在直线上，所以利用直线参数方程的几何意义，与曲线联立，求出根，即可求出的值.【详解】（1）由题知，消去有，即曲线，因为，即直线；（2）易知点在直线上，且直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t为参数），因为直线与曲线C相交于A，B两点
22、，所以有，解得，根据参数的几何意义有，,有，.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，直角坐标与极坐标的转化，直线参数方程的几何意义，属于一般题.23.已知（1）当时，求不等式 的解集；（2）若时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对和分类讨论即可求出解集范围；（2）分别讨论和两种情况，结合第一问中，即可求出结果.【详解】（1）当时，当时，当时，故不等式的解集为；（2）因为，所以，当时，可知在区间时，即，有，显然不恒成立，不满足题意，舍去，当时，可知在区间时，即，有恒成立，满足题意，由第一问有，当时也满足题意，综上，时，在上恒成立.【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式，这类题要注意分类讨论，属于一般题.