1、25平面向量应用举例1掌握2种思想用向量法解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算2把握1个步骤用向量解决物理中相关问题的步骤(1)转化：把物理问题转化成数学问题(2)建模：建立以向量为主体的数学模型(3)求解：求出数学模型的相关解(4)回归：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象知识点一平面几何中的向量方法1(2019山东枣庄八中月考)设P为ABC所在平面内一点，且满足
2、，则P是ABC的()A重心B垂心 C外心D内心解析：选B由，得()0，即PBCA，同理PABC，PCBA，所以P是ABC的垂心，故选B.2(2018山东济南一中高一期中)已知ABC中，c，a，b，若abbc，且cbcc0，则ABC的形状为()A锐角三角形 B等腰非直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析：选D由cbccc(bc)0，即()0，可得B是直角又由abbc，可得b(ac)0，即()0，所以CA与CA边的中线垂直，所以ABC是等腰直角三角形故选D.3已知在四边形ABCD中，a，b，c，d，且abbccdda，判断四边形ABCD的形状解：在四边形ABCD中，四个向量顺次首尾相接，则其
3、和向量为零向量，故有abcd0，ab(cd)，(ab)2(cd)2，即|a|22ab|b|2|c|22cd|d|2.又abcd，|a|2|b|2|c|2|d|2.同理有|a|2|d|2|c|2|b|2，由可得|a|c|，|b|d|，即此四边形两组对边分别相等故四边形ABCD为平行四边形另一方面，由abbc，得b(ac)0，又在平行四边形ABCD有ac，代入上式得b(2a)0，即ab0，故有ab，即ABBC.综上，四边形ABCD是矩形知识点二平面向量在解析几何中的应用4(2018陕西西安二十六中高一期末)已知直线xya与圆x2y22相交于A，B两点，O是坐标原点，C是圆上一点，若，则实数a的值为
4、()A1 BC D2解析：选A因为A，B，C均为圆x2y22上的点，故|，因为，所以()22，即2222，即44cosAOB2，故AOB120，则圆心O到直线AB的距离d|，即|a|1，即a1.故选A.5(2018浙江杭州二中月考)已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，2i3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A3x2y60 B3x2y60C2x3y60 D2x3y60解析：选B由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以(2，3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(2,0)，B(0，3)，由此可得直线l的方程为3x2y60.故选B.知识点
5、三平面向量在物理中的应用6(2018天津红桥高考二模)质点m在三个力F1，F2，F3的共同作用下，从点A(10，20)移动到点B(30,10)(位移的单位为米)，若以x轴正方向上的单位向量i及y轴正方向上的单位向量j表示各自方向上1牛顿的力，F15i20j，F220i30j，F330i10j，则F1，F2，F3的合力对质点m所做的功为()A6 000焦耳 B1 500焦耳C500焦耳 D3 000焦耳解析：选B由已知得F1，F2，F3的合力为F(15,40)，s(20,30)，根据功的计算公式，知合力对质点m所做的功WFsF1 500(焦耳)，故选B.7(2018浙江杭州西湖高级中学高三月考)
6、已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(7，3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加一个力f4，则f4()A(2，2) B(2，2)C(1,2) D(2,2)解析：选D由物理知识，知物体平衡，则所受合力为0，所以f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(2,2)，故选D.1(2018湖北武汉二中高三月考)平面上有四个互不相同的点A，B，C，D，已知(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D无法确定解析：选B由(2)()0，得()()()0，所以()()0，所以|2|20，所以|，故ABC是等腰三角形故选B.2(2018安徽江淮十校高三
7、联考)在ABC中，有下列命题：；0；若0，则ABC为锐角三角形其中正确的命题有()A BC D解析：选C，错误；0，正确；0cos，0，即cos A0，A为锐角，但不能确定B，C的大小，不能判定ABC是否为锐角三角形，错误故选C.3已知点A(0，2)，B(0,2)，动点P(x，y)满足y2y，则点P的轨迹是()A直线 B圆C抛物线 D射线解析：选C(x，2y)(x,2y)x2y24y2y，所以yx24，故选C.4(2019湖北襄阳致远中学高一月考)已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120时，合力大小为()A40 N B10 NC20 N
8、 D40 N解析：选B如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力由题意，易知当它们的夹角为90时，|F|F1|20 N，所以|F1|F2|10 N当它们的夹角为120时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|F1|10 N故选B.5已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/sC4 m/s D12 m/s解析：选B设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10，|v2|2(m/s)故选B.6
9、(2018江苏南京外国语学校月考)若直线l过点(3,4)，且平行于向量a(2,1)，则直线l的方程为_解析：由题意，知直线l的斜率为，所以直线l的方程为y4(x3)，即x2y110.答案：x2y1107在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的角平分线上且|2，则的坐标为_解析：如图，已知A(0,1)，B(3,4)，设E(0,5)，D(3,9)，则四边形OBDE为菱形，OD平分AOB.设C(x1，y1)，|2，|3，(x1，y1)(3,9)，即.答案：8(2018黑龙江大庆实验中学开学考试)已知O为ABC的外心，AB2，AC3，如果xy，其中x，y满足x2y
10、1且xy0，则cosBAC_.解析：如图所示，过点O分别作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E.则ADAB，AEAC，()22，()2.xy，x2y4x6ycos BAC2，xy29y6xcos BAC.x2y1且xy0，x，y，cos BAC.答案：9如图，已知O为坐标原点，向量(3cos x,3sin x)，(3cos x，sin x)，(，0)，x.(1)求证：()；(2)若ABC是等腰三角形，求x的值解：(1)证明：(0,2sin x)，()002sin x0，().(2)若ABC是等腰三角形，则ABBC，(2sin x)2(3cos x)2sin2x，即2cos2xcos x0，解得
11、cos x0或cos x，x，cos x，x.10(2018陕西西安曲江一中期中)已知e1(1,0)，e2(0,1)，一动点P从P0(1,2)开始，沿着与向量e1e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|e1e2|m/s.另一动点Q从Q0(2，1)开始，沿着与向量3e12e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|3e12e2|m/s，设P，Q在t0 s时分别在P0，Q0处，问当时，所需的时间t为多少？解：e1e2(1,1)，其一个单位向量为，|e1e2|；3e12e2(3,2)，其一个单位向量为，|3e12e2|.根据题意，画出P，Q的运动示意图，如图所示依题意，|t，|t，|(t，t)，|(3t,2t)由P0(1,2)，Q0(2，1)，得P(t1，t2)，Q(3t2,2t1)，(1，3)，(2t1，t3)，0，即12t93t0，解得t2，当时，所需的时间为2 s.
