1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1掌握3个公式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a bx1x2y1y2.(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，可由cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.2辨明1个易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或的特殊情况知识点一向量数量积的坐标运算1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为()ABC2 D6解析：选Da(3，m)，b(2，1)，ab0，
2、32m(1)0，m6.故选D.2若a(2,1)，b(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影为()A2 B2C. D10解析：选B设a，b的夹角为，则|a|cos |a|2.故选B.3已知点A(1，2)，若向量与a(2,3)同向，|2，则点B的坐标是_解析：由题意可设a(0)，(2，3)，又|2，(2)2(3)2(2)2，解得2(2舍去)(4,6)，又A(1，2)，B(5,4)答案：(5,4)知识点二向量的模4已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于()A5 BC. D13解析：选B因为ab(3,2)，所以|ab|，故选B.5已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|(
3、)A. BC5 D25解析：选C|ab|5，|ab|2a22abb25210b2(5)2，|b|5，故选C.6设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于_解析：ab，1y22，解得y4.又3ab(3,6)(2，4)(1,2)，|3ab|.答案：知识点三向量垂直及应用7(2019北京四中期中)已知向量a(3,1)，b，则下列向量与a2b垂直的是()Ac(1,2) Bc(2，1)Cc(4,2) Dc(4,2)解析：选C向量a(3,1)，b.a2b(3,1)(4,1)(1,2)，(1,2)(1,2)145，(1,2)(2，1)224，(1,2)(4,2)440，(1,2)(4,2
4、)448，向量c(4,2)与a2b垂直，故选C.8已知向量a(2cos ，2sin )，b(0，2)，则向量a，b的夹角为()A. BC. D解析：选Acosa，bsin cos，又a，b0，a，b.故选A.9设平面向量a(2,1)，b(，1)(R)，若a与b的夹角为钝角，求实数的取值范围解：由题意得ab0(2,1)(，1).又设bt a(t0)，则(，1)(2t，t)，t1，2，即2时，a和b反向，不满足题意，(2，)1已知a(5,5)，b(0，3)，则a与b的夹角为()A. BC. D解析：选Dab15，|a|5，|b|3，cos (为a与b的夹角)，又0，.故选D.2已知向量a(0，2)
5、，b(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A. B3C D3解析：选D向量a在b方向上的投影为3.故选D.3(2019山东日照一中高一期中考试)设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么ab()A BC. D解析：选Da2b(12m,4)，2ab(2m,3)由题意，得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.故选D.4(2018浙江诸暨中学高一期末)已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b()A. BC. D(1,0)解析：选B设b(x，y)，其中y0，则abxy.由解得即b.故选B.5(2018广东汕头金山中学高一期末)已知a(3,2)，b
6、(1,0)，若向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A. BC. D解析：选B由向量ab与a2b垂直，得(ab)(a2b)0.因为a(3,2)，b(1,0)，所以(31,2)(1,2)0，即3140，解得.故选B.6(2018天津七中高一期末)已知a(1,2)，b(x,4)，且ab10，则|ab|_.解析：由题意，得abx810，x2，ab(1，2)，|ab|.答案：7(2018江西上饶中学高三月考)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角的大小为_解析：易得ab(1，2)，|a|.设c(x，y)，(ab)c，x2y.设a与c的夹角为，acx2y，cos .又0
7、，180，120.答案：1208已知向量(1,7)，(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线yx上的一点，那么的最小值是_解析：设M，则，(1x)(5x)(x4)28，所以当x4时，取得最小值8.答案：89(2018湖北天门、仙桃、潜江三市高一期末联考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A(5,2)为顶点作等腰直角ABO，且使B90，求点B和向量的坐标解：设B(x，y)，则(x，y)，(x5，y2)，0，x(x5)y(y2)0，即x2y25x2y0.又|，x2y2(x5)2(y2)2，即10x4y29.由得或点B的坐标为或，或.10(2019浙江湖州高一期末考试)在平面直角坐标系xOy中，已知A
8、，B，C三点的坐标分别为A(2，1)，B(3,5)，C(m，3)(1)若，求实数m的值；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围解：(1)由题意，有(1,6)，(m2,4)，由，得0，即(m2)1460，解得m22.(2)若A，B，C三点能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即与不平行，故146(m2)0，解得m，即实数m的取值范围是.素养提升平面向量的数量积的应用问题重点深化平面向量模的最值或范围问题求向量模的最值(范围)的2种方法代数法把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解【例1】(1)(2019衡水中学调
9、研)已知向量a，b，c满足|a|b|ab2，(ac)(b2c)0，则|bc|的最小值为()A.BC. D(2)(2019长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B2C. D解析(1)由|a|b|ab2，知a，b的夹角为，可设a(2,0)，b(1，)，c(x，y)，(ac)(b2c)0，(2x，y)(12x，2y)0，即2x22y25xy20.方程2x22y25xy20表示圆心为，半径为的圆，|bc|表示圆2x22y25xy20上的点到点(1，)的距离，所以|bc|的最小值为 .故选A.(2)因为|a|b|1，ab0，(ac
10、)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos |c|20，其中为c与ab的夹角，所以|c|ab|cos cos ，所以|c|的最大值是.故选C.答案(1)A(2)C重点深化数量积的最值或范围问题数量积的最值或范围问题的2种求解方法临界分析法结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围目标函数法将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围【例2】(1)(2019南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DAAB1，BC2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则的取值范围是()A. BC1,1 D1,0(2)(2019宝鸡模拟)在等腰直角A
11、BC中，ABC90，ABBC2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|，则的取值范围为()A. BC. D解析(1)在直角梯形ABCD中，DAAB1，BC2，BD.如图所示，过点A作AOBD，垂足为O，则，0，().当点P与点B重合时，取得最大值，即1；当点P与点D重合时，取得最小值，即1.的取值范围是1,1故选C.(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为xy2.设M(a,2a)，N(a1,1a)，则0a1，(a,2a)，(a1,1a)，a(a1)(2a)(1a)2a22a2，0a1，当a
12、时，取得最小值，当a0时，2，故2，故的取值范围为.故选C.答案(1)C(2)C1(2019宝鸡金台区质检)在RtABC中，C为直角，且ACBC1，点P是斜边上的一个三等分点，则()A0 B1C. D解析：选B以点C为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以1.故选B.2(2019江西三校联考)若|a|2，|b|4，且(ab)a，则向量a与b的夹角为()A. BC. D解析：选A(ab)a，(ab)aa2ab0，ab4，cosa，b，a，b，故选A.3(2019深圳高级中学期中)已知向量m(1,1)，n(2,2)，
13、若(mn)(mn)，则实数()A4 B3C2 D1解析：选B(mn)(mn)，(mn)(mn)m2n2(1)21(2)240，解得3.故选B.4.(2019广州综合测试)如图，半径为1的扇形AOB中，AOB，P是弧AB上的一点，且满足OPOB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为()A. BC1 D解析：选C扇形OAB的半径为1，|1，OPOB，0.AOB，AOP，()()21|cos |cos 1001，故选C.5(2018重庆十一中高一期中)已知a，b均为单位向量，且ab0，若|c4a|c3b|5，则|ca|的取值范围是()A3， B3,5C3,4 D4,5解析：选Ba，b均为
14、单位向量，且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，代入|c4a|c3b|5，得 5，即点C(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离的和为5.|AB|5，点C的轨迹是线段AB.又|ca|，表示点M(1,0)与线段AB上的点之间的距离，故其最小值是点M(1,0)到直线AB：3x4y120的距离，|ca|min3.又最大值为|MA|5，|ca|的取值范围是3,5故选B.6已知向量a(2,7)，b(x，3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_解析：由ab2x210，得x，当a与b共线反向时，则x，故x的取值范围为x1(kR)，求实数k的取值范围解：(1)证明：|a|b|c|1，且a，b，c之间的夹角均为120，(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，(ab)c.(2)|kabc|1，(kabc)21，即k2a2b2c22kab2k ac2bc1，k2112kcos 1202kcos 1202cos 1201.k22k0，解得k2，实数k的取值范围为(，0)(2，)- 13 - 版权所有高考资源网
