1、2012-2013学年江苏省南通市四星级高中高三（上）期初联考数学试卷一、选择题（70分）1（5分）已知i是虚数单位，复数，则z虚部为1考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：由复数的运算性质可得=1i，即可的其虚部解答：解：化简可得=1i，故其虚部为：1故答案为：1点评：本题考查复数的化简运算和实虚部的定义，属基础题2（5分）某地有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装安全救助报警系统，调查结果如下表所示：外来户原住户已安装6035未安装4560则该小区已安装安全救助报警系统的户数估计有9500户考点：用样本的频率分布估计总体分布专题：概率与统计分析：首先根据图表提供的数据算
2、出200户居民中安装安全救助报警系统的频率，用总住户乘以频率即可解答：解：由图表可知，调查的200户居民中安装安全救助报警系统的有95户，所以安装安全救助报警系统的居民频率为，根据用户样本中已安装安全救助报警系统的频率得：20000=9500所以该小区已安装安全救助报警系统的住户估计有9500（户）故答案为：9500点评：本题考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的频率分布估计总体的分布，解答此类问题的关键是利用频率相等，是基础题3（5分）已知A（m，0）、B（0，2m），（m0），并且=t（0t1），O为坐标原点，则|OP|的最小值为：m考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平
3、面向量及应用分析：由题意可得 =（1t）m，2tm），再由向量的模的定义求得|OP|=，由此求得|OP|的最小值解答：解：由已知可得 ，即 =（0，2tm）+（1t）m，0）=（1t）m，2tm），|OP|=，故当t=时，|OP|取得最小值为|m|=m，故答案为m点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题4（5分）设x，y满足，则的取值范围是2，+）考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先画出x，y满足表示的平面区域，再根据目标函数=1+的几何意义，而表示区域里的点（x，y）与坐标原点连线的斜率，只需求出的范围即可求出目标函
4、数的取值范围解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=1+，将的最小值转化为过定点O（0，0）的直线PO的斜率最小值，当直线MO经过区域内的点（1，2）时，z最小，最小值为：2当直线PO趋向于y轴时，它的斜率趋向于+，则的取值范围是2，+）故答案为：2，+）点评：本题主要考查了简单的线性规划，正确理解不等式所表示的区域，以及目标函数的几何意义，属于基础题5（5分）已知正四面体棱长为1，则其在平面内的投影面积最大值是考点：平行投影及平行投影作图法专题：空间位置关系与距离分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生
5、变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为11=故答案为：点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题6（5分）平面直角坐标系中，已知A（1，1）、P（，0），O为原点，等腰AOB底边AB与y轴垂直，过点P的直线与AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：考点：几何概型专题：概率与统计分析：根据题意作
6、出图形，如图所示本题利用几何概型求概率若过点P的直线与AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在线段OC上，而直线与y轴的交点保持在该区域内部时，直线与y轴的交点保持在线段OD上，从而得出直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：P=即可得出答案解答：解：如图，等腰AOB底边AB与y轴垂直，若过点P的直线与AOB围成的区域有公共点，则直线与y轴的交点保持在线段OC上，由已知A（1，1）、P（，0），得C（0，）而直线与y轴的交点保持在该区域内部时，直线与y轴的交点保持在线段OD上，根据几何概型的概率公式得，直线与y轴的交点保持在该区域内部的概率为：P=故答案为：点评：本题考查几何概型概
7、率的求法，是基础题解题时要认真审题，注意直线与y轴的交点保持在该区域内部所形成的线段区域的长度的求法7（5分）给x输入0，y输入1，则下列伪代码程序输出的结果为2，4考点：伪代码专题：操作型分析：根据已知中的情况代码，可知程序的功能是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案解答：解：x输入值为0，y输入值为13，故第一次循环时，y=20+1=2又23，故第二次循环时，y=20+2=443，不满足进行循环的条件，退出循环故程序输出的结果为2，4故答案为：2，4点评：本题考查的知识点是伪代码，模拟程序的运行结果，是处理循环次数不多时，程序运行类结果问题常用办法8（5分）函数f（x
8、）=log2a（x2+2ax+1）的值域为R，则a的取值范围是（，1）（1，2）考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：计算题；函数的性质及应用分析：设g（x）=x2+2ax+1，由f（x）=log2a（x2+2ax+1）的值域为R，知g（x）x2+2ax+1可以取所有的正数，故，由此能求出a的取值范围解答：解：设g（x）=x2+2ax+1，f（x）=log2a（x2+2ax+1）的值域为R，g（x）x2+2ax+1可以取所有的正数，解得a1，或1a2故答案为：（，1）（1，2）点评：本题主要考查了由二次函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质，解题时容易误认为0，要注意
9、区别与函数的定义域为R的限制条件9（5分）已知xR，f（x）为sinx与cosx中的较小者，设mf（x）n，则m+n=考点：两角和与差的正弦函数专题：计算题分析：先求函数f（x）的表达式，结合正弦函数及余弦函数的图象可求函数的值域，从而可求m+n的值解答：解：由题意得：f（x）=，结合正弦、余弦函数图象可知：1f（x），m=1，n=，则m+n=1故答案为：1点评：点评：本题主要考查了正弦及余弦函数的图象及由图象求函数的最值，解决问题的关键是要熟练掌握三角函数的图象10（5分）已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是（），则双曲线离心率的范围是e考点：双曲线的简
10、单性质专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，利用有一个内角的范围是（），可得，由此可得双曲线离心率的范围解答：解：根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，有一个内角的范围是（），平方得：又c2=a2+b2，e，故答案为：e点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率的范围问题，解题的关键是找到a，b和c的关系11（5分）给出下列四个命题中：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；与不共面的四点距离都相等的平面共有4个正四棱锥侧面为锐角三角形；椭圆中，离心率e趋向于0，则椭圆形状趋向于扁长其中所有真命题的序号是考点：命题的真
11、假判断与应用专题：空间位置关系与距离分析：根据正三棱锥的定义判断四个点在平面同侧不可能存在与空间不共面四点距离相等的平面，那么可分为一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，中截面满足条件，这样的情形有4个，还有一类是二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个，即可求出所有满足条件的平面可由侧面中等腰三角形定义分析，三角形底角不会为钝角，若顶角为钝角，则构不成正四棱锥在椭圆中，e越接近于1，则c越接近于a，从而b越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆所以椭圆离心率越大，它越扁利用此规律即可得出结论解答：解：显然不对，比如三条侧棱
12、中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥一个点在平面一侧，另三个点在另一侧，这样满足条件的平面有四个，都是中截面，如图，二个点在平面一侧，另两个点在另一侧，这样满足条件的平面有三个，如图，故与不共面的四点距离都相等的平面共有7个；故错；侧面三角形底角不会为钝角，若顶角为钝角，则构不成正四棱锥，所以是锐角三角形，故正确椭圆中，离心率e趋向于0，这时椭圆就接近于圆，故错故答案为：点评：本题主要考查命题的真假判断与应用，棱锥的结构特征及棱锥的分类、椭圆的几何性质等，考查很全面，要求掌握要熟练，属中档题12（5分）已知函数f（x）=x3ax2+3ax+1在区间（2，2
13、）内，既有极大也有极小值，则实数a的取值范围是考点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的概念及应用分析：把要求的问题转化为其导数在区间（2，2）内必有两个不等实数根，再利用二次函数的性质解出即可解答：解：由函数f（x）=x3ax2+3ax+1，得f（x）=3x22ax+3a函数f（x）=x3ax2+3ax+1在区间（2，2）内，既有极大也有极小值，f（x）=0在（2，2）内应有两个不同实数根，解得实数a的取值范围是故答案为点评：熟练掌握函数的导数及二次函数的性质是解题的关键13（5分）已知数列an中，anN+，对于任意nN+，anan+1，若对于任意正整数K，在数列中恰有K个K出现，求a50=
14、10考点：进行简单的合情推理；数列的概念及简单表示法专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出第50项所在的组，由此能求出a50解答：解：数列an中，anN+，对于任意nN+，anan+1，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，数列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；则当n=9，1+2+3+n=4550当n=10，1+2+3+n=5550，a50在第10组中，故a50=10故答案为：10点评：本题考查数列的函数特性解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项14（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x22ax+2，x1
15、，3，对于mR，均能在区间1，3内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），则实数a的值是2考点：函数恒成立问题专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（x）=，作出f（x）的图象，由g（x）=x22ax+2是开口向上，对称轴为x=a的抛物线，结合题设条件能求出a的值解答：解：f（x）=，f（x）的图象如图所示：g（x）=x22ax+2是开口向上，对称轴为x=a的抛物线，x1，3，对于mR，均能在区间1，3内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），对称轴为x=a=2所以a=2故答案为：2点评：本题考查函数恒成立问题的合理运用，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用二、解答题（90分）15（
16、15分）已知A、B、C是ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0（）求B0的大小；（）当B=时，求cosAcosC的值考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用专题：综合题；解三角形分析：（）根据2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理可得b=，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求B0的大小；（）设cosAcosC=x，由（）及题设知sinA+sinC=，从而可得关于x的方程，即可求得结论解答：解：（）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即b=由余弦定理知，cosB=（4分）因为y=cosx在（0，）上单调递减，所以B的最大值为B0=（6分）（）解：设cosAc
17、osC=x，（8分）由（）及题设知sinA+sinC=由2+2得，22cos（A+C）=x2+2（10分）又因为A+C=B=，所以x=，即cosAcosC=（14分）点评：本题考查正弦、余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题16（15分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M、N分别为AC、PD的中点求证：（1）MN平面ABP；（2）平面ABP平面APC的充要条件是BPPC考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点
18、M由点N是PD的中点，知MNBP，由此能够证明MN平面ABP（2）先证明由“BPPC”“平面ABP平面APC”，再证明由“平面ABP平面APC”“BPPC”由此证明平面ABP平面APC的充要条件是BPPC解答：证明：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M（1分）又点N是PD的中点，则MNBP，（2分）MN面ABP，BP面ABP，MN平面ABP（4分）（2）充分性：由“BPPC”“平面ABP平面APC”，ABBP，ABBC，BP面PBC，BC面PBC，BPBC=B，AB面PBC，（6分）PC面PBC，ABPC，（7分）又PCBP，AB，BP是面ABP内两条相交直线，PC面ABP
19、，PC面APC，（9分）面ABP面APC（10分）必要性：由“平面ABP平面APC”“BPPC”过B作BHAP于H，平面ABP平面APC，面ABP面APC=AP，BH面ABP，BH面APC（12分）ABPC，PC面ABP，PCPB故平面ABP平面APC的充要条件是BPPC（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的充要条件的证明解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的合理运用17（15分）某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗，规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百，之后每年所领取的比例只有去年的，根据企业规划师预测，减员之后，该企业的利润增加可使得在
20、职员工的收入得到提高，若当年的年收入a万元，之后每年将增长ka万元（1）当k=时，到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少？（2）某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，求m的最大值及此时k的取值范围？考点：数列的应用；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）先求出下岗员工第n年从该企业收入，再利用错位相减法求和，即可得到结论；（2）bn=an+1an，利用某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，建立不等式，即可求得结论解答：解：（1）设下岗员工第n年从该企业收入为an万元，则据题意an=（）n11+（n1）a （2分）设Sn=a1+a2+an=1+（）n1a+（n
21、1）（）n1a由错位相减法可得：Sn=6（n+6）（）na到第n年下岗员工可从该企业获得收入6（n+6）（）na万元（5分）（2）令bn=an+1an=（）n1+nka（）n11+（n1）ka=（3n）k1a（7分）据题意当nm1时，bn0，即（3n）k10；当n=m1时，bn0，即（4m）k10； （10分）当m4时，式总成立，即从第4年开始下岗员工总是从该企业所得变少；m最大值=4； （12分）将m=4代入式得n3时，（3n）k10恒成立；k0（3n）k1最小值=k10k1m的最大值为4，此时 k1（14分）点评：本题考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（15分）
22、已知抛物线y2=8x与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D（）（1）求椭圆方程；（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为M，过点D作M的切线l，求直线l的方程；（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）根据抛物线y2=8x与椭圆有公共焦点F，确定c=2，利用椭圆过点D（），代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆方程；（2）确定M的方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的方程；（3）设AP、AQ的方程
23、代入椭圆方程，求得P，Q的坐标，可得直线PQ的方程，令x=0，即可得到直线PQ过定点解答：解：（1）抛物线y2=8x的焦点F（2，0），抛物线y2=8x与椭圆有公共焦点F，c=2，又椭圆过点D（），得a2=8，b2=4所求椭圆方程为；（2）由题意，A（0，2），B（0，2），C（2，0），则设M（m，0），由|MA|=|MC|，可得m2+4=（m）2，m=，m2+4=，M：（x）2+y2=直线l斜率不存在时，x=直线l斜率存在时，设为y=k（x+）d=，解得k=直线l为x=或x+12y10=0；（3）显然，两直线斜率存在，设AP：y=kx+2代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+8kx=0，解得
24、x=或x=0点P（，）同理得Q（，）直线PQ：y=（x） 令x=0，得y=，直线PQ过定点（0，）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，属于中档题19（15分）已知数列an是以d为公差的等差数列，数列bn是以q为公比的等比数列（1）若数列bn的前n项的和为Sn，且a1=b1=d=2，S3a1003+5b2，求整数q的值；（2）在（1）的条件下，试问数列bn中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（pN，p2）项的和？请说明理由；（3）若b1=a1，b2=asarb3=at，（其中tsr，且（sr）是（tr）的约数），求证：数列bn中每一项都是
25、数列an中的项考点：等差数列与等比数列的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由题意知，由S3a1003+5b22010，得b1+b2+b3a1003+5b22010，由此能求出q（2）假设数列bn中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+p1，因为，所以bkbm+p1，从而得到km+p，由此能推导出这样的项bk不存在（3）由b1=a1，得b2=b1q=a1q=as=ar+（sr）d，所以d=由=，知由此能够证明数列bn中每一项都是数列an中的项解答：解：（1）由题意知，所以由S3a1003+5b22010，得b1+b2+b3a1003+5b22010，b14b2+b32006
26、2010，q24q+30，解得1q3，又q为整数，所以q=2（2）假设数列bn中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+p1，因为，bkbm+p1，2k2m+p1，km+p1，km+p，（*）又=bm+bm+1+bm+p1=2m+2m+1+2m+p1=2m+p2m2m+p，所以km+P，此与 （*）式矛盾所以，这样的项bk不存在（3）由b1=a1，得b2=b1q=a1q=as=ar+（sr）d，则d=又=，从而因为asar，b1b2，所以q1，又ar0，故q=又tsr，且（sr）是（tr）的约数，所以q是正整数，且q2对于数列bn中任一项bi（这里只要讨论i3的情形），有bi=，由于（s
27、r）（1+q+q2+qi2）+1是正整数，所以bi一定是数列an中的项故数列bn中每一项都是数列an中的项点评：本题考查等差数列与等比数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高解题时要认真审题，注意计算能力的培养20（15分）已知函数f（x）=x2ax，g（x）=lnx（1）若f（x）g（x）对于定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2且x1（0，），求证：h（x1）h（x2）ln2；（3）设r（x）=f（x）+g（），若对任意的a（1，2），总存在x0，使不等式r（x0）k（1a2）成立，求实数k的取值范围考点：函数恒成立
28、问题；二次函数的性质专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）由f（x）g（x），知ax，（x0）设（x）=x，利用导数性质能求出a的范围（2）由h（x）=x2ax+lnx，知h（x）=，（x0），故，由，知x2（1，+），且，由此能够证明（3）由r（x）=f（x）+g（），知=，所以1a+k（1a2），设（a）=1a+k（a21），a（1，2），（1）=1，利用分类讨论思想能求出实数k的取值范围解答：解：（1）f（x）=x2ax，g（x）=lnx，f（x）g（x），ax，（x0）（1分）设（x）=x，（x）=，（2分）当x（0，1）时，（x）0，当x（1，+）时，（x）0，（x）（1）=1，
29、a（，1（4分）（2）h（x）=x2ax+lnx，h（x）=，（x0）（5分），x2（1，+），且，（i=1，2），（6分）h（x1）h（x2）=（）（）=（）（）=，（x21）（8分）设u（x）=x2ln2x2，x1，则0，u（x）u（1）=即（10分）（3）r（x）=f（x）+g（），=，r（x）在，+）上为增函数，r（x0）max=r（1）=1a+，所以1a+k（1a2），（12分）设（a）=1a+k（a21），a（1，2），（1）=1，有（a）0在a（1，2）恒成立，（x）=（2ka1+2k）k=0时，（a）在a（1，2）递减，此时（a）（1）=0不符合；（13分）k0时，（a）在a（1，2）递减，此时（a）（1）=0不符合；（14分）k0时，若，则（a）在区间（1，min2，）上递减，此时（a）（1）=0不符合；（15分）综上得，解得k，即实数k的取值范围为，+）（16分）点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明解题时要认真审题，注意导数性质、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用版权所有：高考资源网()
