1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 第一章 计数原理成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 计数原理 第一章 第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 1.3 二项式定理第一章 第1课时 二项式定理第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课前自主预习第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-
2、3 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 1.组合数公式及其性质(1)公式：Cmn_.(2)性质：Cmn_，CmnCm1n_.(3)规定：C0n_.AmnAmmn！m！nm！CnmnCmn11第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 2判断
3、：(正确的打“”，错误的打“”)(1)CmnCmnn.()(2)m 个连接的自然数的乘积能被 m！整除()(3)C511C611C611.()第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 一、二项式定理(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理对二项式定理的理解应注意以下几点：1适用范围二项式定理只适用于两项和的正整数次幂，幂指数不能是0 和负数第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 2公式特点(1)它是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，表示简单，右边
4、是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律规律特点为：它有 n1 项，是和的形式；各项的次数都等于二项式的幂的次数 n；字母 a 按降幂排列，次数由 n 减到 0，字母b 按升幂排列，次数由 0 增到 n；各项的二项式系数依次为：C0n，C1n，Cnn.利用展开式解决问题时可以根据需要选择第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (2)二项式定理中，a，b 是任意的，于是我们可以根据需要对 a，b 赋值，利用二项式定理来解决一些特殊问题如令 a1，bx，则(1x)n1C1nxC2nx2CrnxrCnnxn.这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法如
5、上式中再令x1，则 C0nC1nC2n(1)nCnn0，如果令 a，b 取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果(3)二项式定理中，a，b 一般是不能交换的，即(ab)n 与(ba)n 是有区别的第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 答案 C解析 原式(12)n(1)n.故选C12C1n4C2n8C3n16C4n(2)nCnn()A1 B1C(1)nD3n第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 二、正确理解二项式系数与特定项的系数二项展开式中，系数 Crn(r0,1,2，n)叫做二项式系数，它是一组仅与二项
6、式的幂指数 n 有关的 n1 个组合数，而与 a，b 无关即展开式的第 r1 项的二项式系数与第 r1 项的系数是不同的概念如在(12x)7 的展开式中，第四项是 T4C37173(2x)3.其二项式系数是 C37，而第 4 项的系数是 C3723，它们既有区别，又有联系二项式系数的和是 2n，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 答案 D2x1x2 7 的展开式中倒数第三项的系数是()AC672 BC6726CC6722DC5722解析 2x1x2 7 的展开式共有 8 项，倒数第三项为展开式中第 6 项，
7、T6C57(2x)21x2 5，系数为 C5722.故选 D.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 三、二项展开式的通项公式展开式中的 Crnanrbr 项叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 r1 项，即 Tr1Crnanrbr(其中 0rn，rN，nN)，我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式对于通项公式应理解以下几点：(1)它表示二项展开式中的任意项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定对于一个具体的二项式，它的展开式中的项 Tr1依赖于 r.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (2)通项公
8、式表示的是第 r1 项，而非第 r 项，r1 是项数(3)公式中二项式的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒，且它们的指数和一定为 n.(4)在通项公式中共含有 a，b，n，r，Tr1 这 5 个元素，只要知道其中的 4 个元素，便可求第 5 个元素的值第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80B40C20D10答案 B解析 本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质(12x)5 展开式中的第 r1 项为 Tr1Cr5(2x)r2rCr5xr，令r2 得 T340 x2，x2 的系数为 40，故选
9、B.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 四、函数与方程的思想根据题意求二项展开式的有关问题，通常利用通项公式 Tr1Crnanrbr 中的 a，b，n，r，Tr1“知四求一”，解决问题的常用方法是转化为函数问题或解方程解决第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 在(1xmx2)10 的展开式中，求使 x4 的系数取最小值时 m的值解析(1xmx2)101(xmx2)10，由通项公式得Tr1Cr10(xmx2)rCr10 xr(1mx)r(r0,1,2，10)又(1mx)r 的通项公式为(r0，否则不合题
10、意)Cpr(mx)p(p0,1,2，r)，Tr1Cr10Cprmpxrp.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 而 rp4，且 0pr10，x4 项的系数为 C210C22m2C310C13mC410C0445m2360m2145(m4)2510，当 m4 时，x4 项的系数最小，最小值为510.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课堂典例探究第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 二项式系数与项的系数问题已知二项式3 x 23x10.(1)求展开式第四项的
11、二项式系数；(2)求展开式第四项的系数；(3)求第四项第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析 3 x 23x10 的展开式的通项是 Tr1Cr10(3 x)10r 23xr(r0,1，10)(1)展开式的第 4 项(r3)的二项式系数为 C310120.(2)展开式的第 4 项的系数为 C3103723377 760.(3)展开式的第 4 项为77 760(x)71x3，即77 760 x.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 方法总结 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异二项式系数与项的系
12、数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 若(x1x)n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为_答案 56解析 本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用依题意，C2nC6n，解得 n8.(x1x)8 展开式中通项公式为Tr1Cr8x82r，令 82r2，即 r5，C5856，即为所求本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 求
13、常数项问题求二项式x2 12 x10 的展开式中的常数项分析 展开式中第 r1 项为 Cr10(x2)10r12 xr，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是 x01，x0.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 方法总结 二项式的展开式的某一项为常数项，就是指这项不含“变元”，一般采用令通项Tr1中的变元的指数为零的方法求得常数项解析 设第 r1 项为常数项，则Tr1Cr10(x2)10r12 xrCr10 x2052r12r(r0,1，10)令 2052r0，得 r8.T9C810128 45256.第 9 项为常数项，其值为 4525
14、6.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 求式子|x|1|x|2 3 的展开式中的常数项分析|x|1|x|2 可化为|x|1|x|2 的形式，将三项转化为两项，可得如下解法解析|x|1|x|2 3|x|1|x|6.设第 r1 项是常数项，则Tr1Cr6(|x|)6r 1|x|r(1)rCr6|x|3r.令 3r0，得 r3.故常数项为 T4(1)3C3620.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 已知x x 23 xn 展开式的前三项系数的和为 129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明
15、理由；若有，请求出来第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析 Tr1Crn(x x)nr23 xrCrn2rx9n11r6，r0、1、2、n，由题意 C0n20C1n21C2n22129，结合组合数公式，有 12n2n(n1)129，nN*，n8.Tr1Cr82rx7211r6，r0、1、2、8.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 若展开式中存在常数项，则 7211r0，则 r7211N*，展开式中不存在常数项，若展开式中存在一次项，则7211r61，7211r6，r6.展开式中存在一次项，它是第
16、7 项，T7C6826x1 792x.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 利用通项公式求二项展开式中的特定项已知在3 x 123 xn 的展开式中，第 6 项为常数项(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 分析(1)写出展开式的通项公式，根据第 6 项为常数项求 n，由 n 值令 x 的指数为 2，求 r；(2)求出 x2 的项的系数，令 x 的指数为整数 k，根据 0rn，rZ，求 k；(3)根据 k 的值求出展开式中的有理项第一
17、章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 解析 Tr1Crn(3 x)nr 123 xrCrn(x13)nr12x13r12rCrnxn2r3.(1)第 6 项为常数项，r5 时有n2r30，n10.(2)令n2r32，得 r12(n6)2，所求的系数为 C210122454.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 (3)根据通项公式，由题意得：102r3Z0r10rZ，令102r3k(kZ)，则 102r3k，即 r103k2532k.rZ，k 应为偶函数，k 可取 2,0，2，r2,5,8，第 3 项，第 6
18、 项与第 9 项为有理项它们分别为 C210122x2，C510125，C810128x2.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 方法总结(1)求展开式的特定项的关键是抓住其通项公式，所谓二项展开式的特定项是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值等的特殊项求解时，先准确写出通项公式，再把系数和字母分离开(应注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数具有的特征，列出方程或不等式求解即可(2)求由多个二项式的和(或差)组成的式子的展开式中某些特定项的常用思路有两个：其一是先求各展开式中的特定项，再求其和(或差)；其二是先对其式
19、子进行变形化简，再求其展开式中的特定项一般来说，若能化简式子，则应先化简，这样解题较方便第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 若3 x 1xn 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为()A540 B162C162 D540错解 D第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 辨析(ab)na(b)n，则 Tr1Crnanr(b)r，而不是 Tr1Crnanrbr.正解 A 令 x1,2n64n6.由 Tr 1C r636 rx6r2(1)rxr2(1)rCr636rx3r，令 3r0r3.所以常数项为C36332027540.第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 二项式定理二项式定理的推导过程理解二项展开式的通项掌握二项式系数与项的系数理解第一章 1.3 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-3 课 时 作 业（点此链接）
