1、专题强化练3求函数的最大(小)值一、选择题1.()某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆该品牌车,则能获得的最大利润为() A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元2.()已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是()A.160,+) B.(-,40C.(-,40160,+) D.(-,2080,+)3.(多选)()已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是()A. f(
2、x)在区间-1,0上的最小值为1B. f(x)在区间-1,2上既有最小值,又有最大值C. f(x)在区间2,3上有最小值2,最大值5D. f(x)在区间0,a(a1)上的最大值为f(a)4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设函数g(x)=x2-2(xR), f(x)=g(x)+x+4,xg(x),g(x)-x,xg(x),则f(x)的值域是()A.-94,0(1,+) B.0,+)C.-94,+ D.-94,0(2,+)5.(多选)()已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,构造函数F(x)=g(x),f(x)g(x),f(x),f(x)0),g(x)=2x-1,若x1-1,2,x
3、22,3,使f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.10.(2020山东临沂高一上期末素养水平监测,)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5t20,tN.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足:p(t)=60-(t-10)2,5t0),试研究其最值情况.答案全解全析一、选择题1.C设公司在甲地销售m辆该品牌车,则在乙地销售(15-m)辆,0m15,且mN,设公司获利为L万元,则L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-m-1922+30+1924,当m=9或m=10时,L取得最大值120,即该公司在两地共销售15辆该
4、品牌车时,能获得的最大利润为120万元.故选C.2.C由于函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.函数f(x)=4x2-kx-8的图象开口向上,且对称轴方程为x=k8,因此k85或k820,所以k40或k160.3.BC函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间-1,0上单调递减,所以f(x)在区间-1,0上的最小值为f(0)=2,A错误;在选项B中,因为f(x)在区间-1,1上单调递减,在1,2上单调递增,所以f(x)在区
5、间-1,2上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)f(2),所以f(x)在区间-1,2上的最大值为f(-1)=5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间2,3上单调递增,所以f(x)在区间2,3上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;在选项D中,当12时, f(x)在区间0,a上的最大值为f(a),D错误.故选BC.4.D当xg(x),即x2或x0,得|x|1,则F(x)=x2,|x|1,3-2|x|,|x|1,作出F(x)的图象如图所示,由图可知,y=F(x)的图象与x轴有3个交点,F(x)在(1,+)上单调递减,F(x)有最大值1,没有最
6、小值.故选AC.二、填空题6.答案(1)403(2)6+42解析由题意可知,将正三角形纸片剪成了一个小正三角形和一个等腰梯形.设剪成的小正三角形的边长为x(0x1),则梯形的周长为3-x,梯形的面积为12(x+1)32(1-x)=34(1-x2),所以S=33-x34(1-x2)=43-x1-x2(0x1).(1)当梯形的腰长为12,即x=12时,S=4521-14=403.(2)令3-x=t,则t(2,3),故S=4t6t-8-t2=416-8t-t416-28=6+42,当且仅当t=8t,即t=22时等号成立,所以S的最小值是6+42.7.答案-6或103解析函数y=f(x)=-x-a22
7、+14(a2-a)的图象开口向下,对称轴方程为x=a2,当0a21,即0a2时, f(x)max=fa2=14(a2-a),则14(a2-a)=32,解得a=-2或a=3,与0a2矛盾,不符合题意,舍去;当a20,即a1,即a2时,f(x)在0,1上单调递增, f(x)max=f(1)=34a-1,则34a-1=32,解得a=103,符合题意.综上所述,a=-6或a=103.三、解答题8.解析(1)根据题意,设f(x)=ax+b,a、bR,且a0,f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b.3f(x+1)=6x+5,3ax+3a+3b=6x+5,3a=6,3a+3b=5,解得a=2,b=-1
8、3,f(x)=2x-13.(2)函数g(x)=f(x)+2x2-x=2x2+x-13,g(x)的图象开口向上,g(x)max=maxg(-1),g(a),g(-1)=23,g(a)=2a2+a-13,当g(a)g(-1)时,2a2+a-1323,且a-1,解得a12,故当a12时,g(x)max=g(a)=2a2+a-13;当-1a12时,g(x)max=g(-1)=23.故g(x)max=23,-1a0)的值域为-a+2,2a+2,要满足g(x)的值域是f(x)值域的子集,则-a+21,2a+22,解得a1,故实数a的取值范围为1,+).10.解析(1)p(5)=60-(5-10)2=35,
9、其实际意义为:发车时间间隔为5分钟时,载客量为35.(2)y=6p(t)+24t-10,当5t10,tN时,y=360-6(t-10)2+24t-10=110-6t+216t,任取t1,t25,6,且t1t2,则y1-y2=110-6t1+216t1-110-6t2+216t2=6(t2-t1)+216t2-216t1=6(t2-t1)+216(t1-t2)t1t2=6(t2-t1)(t1t2-36)t1t2,5t10,25t1t236,t1t2-360,y1-y20,函数y=110-6t+216t在区间5,6上单调递增,同理可证该函数在区间6,10)上单调递减,当t=6时,y取得最大值38;
10、当10t20,tN时,y=660+24t-10=384t-10,该函数在区间10,20上单调递减,则当t=10时,y取得最大值28.4.综上,当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.11.解析(1)不正确.没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+44,易知u0,当0u4时,1u14,即f(x)14;当u0时,1u0,即f(x)0.f(x)0或f(x)14,即f(x)既无最大值,也无最小值.(2)x2+x+2=x+122+7474,00),令u=ax2+bx+c,当0时,u有最小值,umin =4ac-b24a0;当4ac-b24au0时, f(x)0.f(x)0或f(x)4a4ac-b2,即f(x)既无最大值也无最小值.当=0时,u有最小值,umin=4ac-b24a=0,结合f(x)=1u知u0,u0,此时1u0,即f(x)0, f(x)既无最大值也无最小值.当0,即u4ac-b24a0,01u4a4ac-b2,即0f(x)4a4ac-b2,当x=-b2a时, f(x)有最大值4a4ac-b2,没有最小值.综上,当0时, f(x)既无最大值,也无最小值;当0时, f(x)有最大值4a4ac-b2,此时x=-b2a,没有最小值.
