1、3.2.2奇偶性基础过关练题组一函数奇偶性及其图象特征 1.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为m+1,-2n+2,则()A.m=0,n=0B.m=-3,n=0C.m=1,n=0D.m=3,n=02.(2021天津部分区高一上期中)下列函数中是奇函数的为()A. f(x)=x2+1B. f(x)=x+2xC. f(x)=x2+xD. f(x)=2x+13.若y=f(x)(xR)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a)B.(-a,-f(a)C.(-a,-f(-a)D.(a, f(-a)4.已知y=f(x),x(-a,a),F(x)=
2、f(x)+f(-x),则F(x)()A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数5.(2021山西太原高一上期中)已知f(x)是定义在-6,6上的奇函数,且f(5)f(2),则f(-2)与f(-5)的大小关系是: f(-2) f(-5).(填“”“=”或“f(-3)f(-2) B. f()f(-2)f(-3)C. f()f(-3)f(-2) D. f()f(-2)f(-3)10.(2021江苏南通如东高一上期中)已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)0时, f(x)=x(1+x).(1)画出函数f(x)的图象;(2)求函数f(x)的解析式.1
3、3.(2021山东省实验中学高一上期中)已知函数f(x)=1-2x.(1)若函数g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;(2)试判断函数f(x)在(0,+)上的单调性,并用定义证明.能力提升练题组一函数的奇偶性 1.()已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.()已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数3.()函数f(x)=-4x2+12x4的
4、大致图象是()4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=1-x2|x-2|-2C.f(x)=(x-1)1+x1-x D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|5.(2020河南郑州高一上期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为()A.-1B.1 C.2 D.06.(2021山东省实验中学高一上期中,)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:x(-1,0)时, f(x)0;f(x)+f(y)=fx+y1+xy,x,y(-1,1).则f(
5、x)是函数(填“奇”或“偶”),且f(x)在定义域上是函数(填“增”或“减”).7.()判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2-1+1-x2;(2)f(x)=2x2+2xx+1;(3)f(x)=x(1-x)(x0).题组二函数奇偶性的综合运用8.(2021山东淄博高一上期中,)已知偶函数f(x)在(-,0上单调递减,且f(4)=0,则不等式xf(x)0的解集为()A.(-4,0)(4,+)B.(-,-4)(0,4)C.(-4,0)(0,4)D.(-,-4)(4,+)9.(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)
6、x1-x20的x的取值范围是()A.(-,-2)(0,1)(2,+)B.(-2,0)(1,2)C.(-2,1)(2,+)D.(-,-2)(1,2)10.(多选)(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是()A.当x(0,+)时, f(x)=x2-2xB.函数f(x)在定义域R上为增函数C.不等式f(3x-2)0恒成立11.(2021山东临沂部分学校高一上期中,)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)=.
7、12.(2021北京人大附中高一上期中,)奇函数f(x)的定义域为(-1,1), f(x)在第一象限的图象是圆心在原点,半径为1的圆弧,如图所示,则不等式f(x)0,设F(x)=f(x),x0,-f(x),x0,mn0,判断F(m)+F(n)是否大于零,请说明理由.15.(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,满足f(1)=15,当-2x0时,有f(x)=ax+bx2+4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)的单调性,并利用定义证明;(3)解不等式f(2x-1)+f(x)解析因为f(x)是定义在-6,6上的奇函数,所以f(5)=-f(-5
8、), f(2)=-f(-2),若f(5)f(2),则-f(-5)-f(-2),变形可得f(-2)f(-5).6.答案-3解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,+)时, f(x)=x2+2x,所以f(-1)=-f(1)=-(12+21)=-3.7.答案1x(答案不唯一)解析举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=1x,答案不唯一.8.解析(1)易知f(x)=xx2+2的定义域为R,任取xR,都有f(-x)=-xx2+2=-f(x),故f(x)为奇函数.(2)由f(x)=1+x+1-x,得1+x0,1-x0,解得-1x1,即函数的定义域为-1,1,任取x-1,1,都有f(-x)
9、=1-x+1+x=f(x),故f(x)是偶函数.9.A由函数f(x)是偶函数知, f(-3)=f(3), f(-2)=f(2),又x0,+)时f(x)是增函数,f()f(3)f(2),f()f(-3)f(-2),故选A.10.Bf(x)为偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|),f(2x-1)f12等价于f(|2x-1|)f12,又函数f(x)在区间0,+)上单调递增,|2x-1|12,即-122x-112,14x34.故选B.11.答案5解析因为函数f(x)=(x+2)(x-a)是定义在R上的偶函数,所以f(-1)=f(1),即-1-a=3(1-a),解得a=2,所以f(3)=5,故答案为
10、5.12.解析(1)函数f(x)的图象如图所示:(2)由题意可知,当x=0时, f(0)=0;当x0,f(-x)=-x(1-x),又f(-x)=-f(x),f(x)=x(1-x).故函数f(x)的解析式为f(x)=x(1+x),x0,x(1-x),x0.13.解析(1)由已知得g(x)=f(x)-a=1-a-2x,g(x)是奇函数,g(-x)=-g(x),即1-a-2-x=-1-a-2x,解得a=1.(2)函数f(x)在(0,+)上是增函数.证明如下:任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-2x1-1-2x2=2(x1-x2)x1x2,0x1x2,x1-x20,从而
11、2(x1-x2)x1x20,f(x1)f(x2),函数f(x)在(0,+)上是增函数.能力提升练1.B依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B.2.A易知f(x)的定义域为R.令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.3.D易知函数f(x)=-4x2+12x4是偶函数,排除选项B,C;当x=2时, f(2)=-15320,对应点在第四象限,故排除A.故选D.4.D在选项
12、A中,f(x)=x3-1x(x0), f(-x)=-x3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1x1,x0),f(-x)=1-x2x, f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)1+x1-x(-1x1),是非奇非偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(xR), f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|, f(x)=f(-x),是偶函数,故选D.5.Df(x)是R上的奇函数, f(1)=1,f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.依题意得f(3)=f(-
13、1+4)=f(-1)=-1, f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1.因此, f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.陷阱提示在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.6.答案奇;减解析f(x)+f(y)=fx+y1+xy,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,又因为x(-1,1),所以f(x)为奇函数.任取x1,x2(-1,0),且x1x2,则f(x1)-f(
14、x2)=f(x1)+f(-x2)=fx1-x21-x1x2,因为-1x1x20,所以x1-x20,0x1x20,所以x1-x21-x1x20,所以x1-x21-x1x2-1,所以-1x1-x21-x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,所以f(x)在(-1,0)上是减函数,又f(x)为奇函数,在(-1,0)上f(x)0,所以f(x)在(-1,1)上是减函数.7.解析(1)依题意得x2-10,且1-x20,即x=1,因此函数f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且f(x)=0.f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-,-
15、1)(-1,+),不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-,0)(0,+),关于原点对称.任取xD,当x0时,-x0,f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x),f(x)为奇函数.8.A因为偶函数f(x)在(-,0上单调递减,且f(4)=0,所以根据偶函数的对称性可知, f(x)在(0,+)上单调递增,且f(-4)=0,由xf(x)0可得x0,f(x)0或x0,f(x)0,x4或x0,-4x4或-4x0.故选A.9.B因为f(x)对任意两个正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x
16、20可得x1,f(x)0或x1,f(x)0,解得1x2或-2x0时,-x0),所以函数f(x)在定义域R上为增函数,故B正确;对于C:不等式f(3x-2)3等价于f(3x-2)f(1),即3x-21,解得x(-,1),故C正确;对于D:当x0时, f(x)=-x2+2x, f(x)-x2+x-1=-2x2+3x-1=(-2x+1)(x-1)0,故D错误.故选BC.11.答案2解析因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2), f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2),由可得, f(2)=g(-2),若f(2)=2,则g(-
17、2)=2.故答案为2.12.答案-22,022,1解析因为奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(x)在第一象限的图象是圆心在原点,半径为1的圆弧,所以函数f(x)的图象如图所示,当f(x)=x时,解得x=22或x=-22,由图知,不等式f(x)1时, f(x)=|x|+1x2-1=x+1x2-1=1x-1,任取x1,x2(1,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1x1-1-1x2-1=x2-x1(x1-1)(x2-1),1x10,x2-10,x2-x10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在(1,+)上是减函数. (3)由(1)(2)知函数f(x)在-4,
18、-2上是增函数,f(x)min=f(-4)=|-4|+1(-4)2-1=13, f(x)max=f(-2)=|-2|+1(-2)2-1=1,所求值域为13,1.14.解析(1)由f(-1)=0可得a-b+1=0,又函数的值域为0,+),所以a0,=b2-4a=0,所以a=1,b=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1.(2)由(1)可得g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,其图象开口向上,对称轴为直线x=k-22,因为函数g(x)在区间-2,2上单调,所以k-22-2或k-222,解得k-2或k6,故k的取值范围为(-,-26,+).(3)F(m)+F(n)大于零,理
19、由如下:因为f(x)是偶函数,所以f(x)=ax2+1,则F(x)=ax2+1,x0,-ax2-1,xn,则n0,又a0,所以F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-(an2+1)=a(m2-n2)=a(m+n)(m-n)0,故F(m)+F(n)大于零.15.解析(1)因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(0)=0,即b4=0,解得b=0.因为f(1)=15,所以f(-1)=-15=-a5,所以a=1,所以当-2x0时, f(x)=xx2+4.当x0,2)时,-x(-2,0,则f(x)=-f(-x)=-xx2+4=xx2+4.综上所述, f(x)=xx2+4(
20、-2x2).(2)函数f(x)在(-2,2)上为增函数.证明如下:任取x1,x2(-2,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4=x1x22+4x1-x2x12-4x2(x12+4)(x22+4)=x1x2(x2-x1)-4(x2-x1)(x12+4)(x22+4)=(x2-x1)(x1x2-4)(x12+4)(x22+4),因为-2x1x20,x1x2-40,所以(x2-x1)(x1x2-4)(x12+4)(x22+4)0,即f(x1)f(x2),故f(x)=xx2+4在(-2,2)上为增函数.(3)因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(2x-1)+f(x)0等价于f(x)-f(2x-1)=f(1-2x),由(2)知f(x)=xx2+4在(-2,2)上为增函数,则x1-2x,-2x2,-22x-12,解得-12x13,故原不等式的解集为x|-12x13.
