1、9.2.3向量的数量积学 习 任 务核 心 素 养1了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念(易错点) 2理解平面向量数量积的含义(重点)3能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)1通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养2通过数量积的应用，培养数学运算素养我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为，那么这个力所做的功为W|F|cos (1)显然， 功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什
2、么关系？(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由知识点1向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为01(1)两个向量的数量积是向量吗？(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？提示(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定1已知|a|3，|b|6，则(1)若a与b夹角为0，则ab_；(2)若a与b的夹角为60，则ab_；(3)若a与b的夹角为9
3、0，则ab_(1)18(2)9(3)0(1)ab|a|b|cos 0|a|b|18(2)ab|a|b|cos 60369(3)ab|a|b|cos 903600知识点2两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称为向量a与b的夹角(2)范围：0180(3)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(4)当90时，则称向量a与b垂直，记作ab(5)两个非零向量a和b的夹角，可以由cos 求得2试指出图中向量的夹角图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_；图中向量与的夹角_答案0180知识点3投影向量设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，
4、过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量(1)(2)所以 (|a|cos )，abb投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积3已知|a|3，|b|5，a与b的夹角为45，则a在b上的投影向量为_；b在a上的投影向量为_b aa在b上的投影向量为(|a|cos )(3cos 45)b；b在a投影向量为(|b|cos )(5cos 45)a知识点4向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数abba；(a)ba(b)(ab)
5、ab；(ab)cacbc(2)数量积的性质：aa|a|2或|a|；|ab|a|b|，当且仅当向量a，b为共线向量时取“”号；abab0(向量a，b均为非零向量)2向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？提示向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量4(多选题)对于向量a，b，c，下列命题错误的是()A若ab0且a0，则b0B若|a|2|b|20，则ab或abC若abbc且a，b，c均为非零向量，则acD若a，b，c均为非零向量，则(ab)ca(bc)0ABCD若ab0，则a，b至少有一个为零向量，或者ab，故A错；若|a|2|b|20，则a，b均为非零向量且a，b的模相等，不
6、能推出a，b方向相同或相反，故B错；若ab，bc，则abbc0，此时a，c均与b垂直，无法推出ac，故C错；(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量，(ab)ca(bc)0不一定成立，故D错 类型1向量数量积的运算【例1】(对接教材P20例1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)解(1)ab|a|b|cos 120233(2)a2b2|a|2|b|2495(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|281527341求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|
7、a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos 要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简跟进训练1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3)解(1)与的夹角为60，|cos 6011(2)与的夹角为120，|cos 12011(3)与的夹角为60，|cos 6011 类型2求向量的模【例2】已知向量a，b，AOB60，且|a|b|4求|ab|，|ab|，|3ab|解ab|a|b|cosAOB448，|ab|4，|ab|4，|3ab|41求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积
8、联系，要灵活应用aa|a|2，勿忘记开方2一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等跟进训练2已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45，且|a|1，所以4|a|24|a|b|cos 45|b|210，故41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)，故|b| 类型3求向量的夹角【例3】已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角由两组向量分别垂直可得出|a|，|b|同ab的
9、关系，由此可借助公式cos 求a与b的夹角.解由已知，得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减，得2abb2，abb2，代入中任一式，得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60求a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|及ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值提醒：注意两向量的夹角0，跟进训练3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解e1，e2为
10、单位向量且夹角为60，e1e211cos 60ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos 又0，180，1201若|a|3，|b|4，a，b的夹角为60，则ab()A3 B6 C6 D12Ba，b的夹角为60，且|a|3，|b|4，ab34cos 60126，故选B2(多选题)下面给出的关系式中正确的是()A0a0 Ba2|a|2Cab|a|b| D(ab)2a2b2ABC(ab)2a2b2cos2，故D错误，其余均正确3已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A B C DB设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)b0，abb2，|a
11、|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos ，0，故选B4已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在b方向上的投影向量为_bcos ，向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos )b5若向量ab，且|a|1，|b|3，则|ab|_ab，ab0，又|a|1，|b|3，|ab|回顾本节知识，自我完成以下问题：1向量的数量积与实数运算有何区别？提示(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，
12、但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线2两个非零向量a，b的夹角为锐角ab0吗？提示两个非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|3如何借助数量积求|ab|?提示|ab|
