1、22向量的分解与向量的坐标运算22.1平面向量基本定理22.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算1.了解平面向量的分解2.理解平面向量基本定理的内容及平面向量的正交分解3掌握平面向量基本定理及其应用、向量的直角坐标运算,学生用书P44)1平面向量基本定理及直线的向量参数方程式(1)平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1、a2，使aa1e1a2e2(2)基底把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式(3)直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上
2、任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式(1t)t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应向量等式(1t)t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数2向量的坐标表示及坐标运算(1)向量的坐标如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在
3、基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)(2)平面向量的坐标运算向量的加、减法若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)即两个向量的和与差的坐标等于这两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a(a1，a2)，R，则a(a1，a2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标
4、已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标1设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A2e1，3e2Be1e2，3e13e2Ce1，5e2De1，e1e2答案：B2已知a(1，1)，b(3，0)，则3a2b等于()A(5，3)B(4，1)C(2，1) D(3，3)解析：选D.3a2b3(1，1)2(3，0)(36，30)(3，3)3M为线段AB的中点，O为平面上任一点，xy，则有x_，y_解析：当M为线段AB中点时，则()，所以x，y.答案：用基底表示向量学生用书P45如图
5、，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知c，d，试用c，d表示和.【解】设a，b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：b，a，因为，所以bac.又，即abd.由得a(2dc)，b(2cd)即(2dc)，(2cd)用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 已知AD是ABC的中线，a，b，以a，b为基底表示，则()A(ab)B2baC(ba) D2ba解析：选B.如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而()，则22ba.平面向量基本定理的应用学生用
6、书P45平面内有一个ABC和一点O(如图)，线段OA、OB、OC的中点分别为E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设a，b，c.(1)试用a、b、c表示向量、；(2)证明：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分.【解】(1)因为a，(bc)，所以(bca)同理：(acb)，(abc)(2)证明：设线段EL的中点为P1，则()(abc)设FM、CN的中点分别为P2、P3，同理可求得(abc)，(abc)所以.即EL、FM、GN交于一点且互相平分平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决 已知
7、OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将分成21两部分的一个分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求实数的值解：(1)因为A为BC的中点，所以()，2ab.2abb2ab.(2)因为，所以a2ab(2)ab.因为与共线，所以存在实数m，使得m，即(2)abm(2ab)，即(2m2)a(1m)b0.因为a，b不共线，所以解得.平面向量的坐标运算学生用书P45(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7，4)C(1，4) D(1，4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(1，2)，(3，5)，求ab，ab，3a，2a3b的坐标
8、【解】(1)选A.法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4)故选A.法二：(3，2)(0，1)(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)故选A.(2)ab(1，2)(3，5)(2，3)，ab(1，2)(3，5)(4，7)，3a3(1，2)(3，6)，2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(7，11)平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行 (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行如图所示，已
9、知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以(37，58)(4，3)，(47，38)(3，5)又因为D是BC的中点，所以()(43，35)(7，8).因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点所以.1建立基底模型是用向量法解决与几何图形证明和求解有关的一种方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系一旦选中一组基底，则该平面内任一向量都可与之建立联系，进而以该基底为纽带，沟通不同向量之间的联系2一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
10、减去始点坐标，将一个向量的始点平移到坐标原点，则向量的坐标和平移后向量的终点坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系平面向量坐标运算的注意点1要弄清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2进行向量的坐标运算时，向量的始点、终点的顺序不能颠倒1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()ABC D解析：选B.与不共线；，则与共线；与不共线；，则与共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意2若A(2，1)，B(3，1)，C(4，5
11、)，则2等于()A10 B(1，5)C3 D(3，10)解析：选D.(1，2)，(1，4)，所以2(1，2)2(1，4)(3，10)3在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若a，b，则_解析：如图，因为()，且a，ab，所以(aab)ab.答案：ab,学生用书P111(单独成册)A基础达标1若向量a(x3，x23x4)与相等，已知A(1，2)，B(8，2)，则x的值为()A1B1或4C4 D1或4解析：选C.(8，2)(1，2)(7，0)，所以所以所以x4.2已知两点M(2，2)，N(7，3)，则点P坐标是()A(3，7) BC D(8，1)解析：选B.(72，32)
12、(5，1)，因为M(2，2)，所以P.3若a(1，1)，b(1，1)，c(2，4)，则c等于()Aa3b Ba3bC3ab D3ab解析：选B.设cmanb，所以(2，4)m(1，1)n(1，1)，所以所以所以ca3b，故选B.4在ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点若rs，则rs()A1 BC D解析：选D.因为D为BC的中点，E为AD的中点，所以()，()所以().又rs，所以r，s，所以rs.5.如图，设一直线上三点A、B、P满足(1)，O是平面上任一点，则()ABCD解析：选A.因为P、B、A三点共线，所以一定存在实数t，使得(1t)t，则t满足(1t)t1，选择项中只有A中1，故
13、选A.6设点A，B，C，D的坐标依次为(1，0)，(3，1)，(4，3)，(0，2)，则四边形ABCD的形状为_解析：因为(4，1)，(4，1)，所以，所以ABCD.所以四边形ABCD为平行四边形答案：平行四边形7已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以解得所以xy3.答案：38已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若(R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则_解析：因为，所以(5，4)(5，7)(55，47)，由5547，得.答案：9.如
14、图，在ABCD中，AHHD，BFMCBC，且a，b，用a，b表示，.解：bbb，ab，b(ab)ab，ab，ab，b(ab)ab.所以ab，ab，ab，ab.10已知向量(4，3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足(R)，求与y的值解：(1)设B(x1，y1)，因为(4，3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4，3)，所以所以所以B(3，1)同理可得D(4，3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2，y21.所以M.(2)由(3，1)(2，y)(1，1y)，(4，3)(3，1)(7，4)，又(R)，所以(1，1y)(7，4)(7，4)，
15、所以所以B能力提升11已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：0，若实数满足，则的值为()A BC2 D3解析：选D.因为0，所以P为ABC的重心，设BC中点为D，所以，所以，而223，所以3.12已知P1(3，1)，P2(0，5)，点P在线段P1P2上且|2|，则P点坐标为_解析：设P(x，y)，则(x3，y1)，(x，5y)，因为点P在线段P1P2上且|2|，所以2，所以，所以，所以P(1，3)答案：(1，3)13如图所示，已知OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD2DB，DC和OA交于点E，设a，b，2ab，2ab.若，求实数的值解：因为，则a(2ab)(2)ab.因为
16、与共线，且0，所以存在实数k，使k，即(2)abk，解得.所以实数的值为.14(选做题)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)(1)若0，求的坐标；(2)若mn(m，nR)，且点P在函数yx1的图象上，试求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)所以解得所以点P的坐标为(2，2)，故(2，2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)所以(2，3)(1，1)(1，2)，(3，2)(1，1)(2，1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，所以两式相减得mny0x0，又因为点P在函数yx1的图象上，所以y0x01，所以mn1.
