1、15.2随机事件的概率学 习 任 务核 心 素 养1了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别(难点)2理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法(重点)3理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件(难点)4理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法(重点)1通过频率估计概率，培养数据分析、数学运算核心素养2利用古典概型的知识来解决实际问题，培养数学建模核心素养科学家的科学研究离不开具体大量的试验，奥地利遗传学家孟德尔通过大量的豌豆杂交试验，终于发现了生物遗传学规律：分离定律和自由组合定律统计学中可以用样本估计总体的分布和特征
2、数，大量的同一条件下的试验可以发现，某些随机事件发生的频率总在某个常数附近摆动，能否以随机事件的频率去估计随机事件的概率？盒子中有四张彩票，只有一张能中奖，甲从中摸出一张，中奖的可能性为，你能给出合理的解释吗？知识点1随机事件的概率(1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一随机事件A出现了m次，则事件A出现的频数是 m，称事件A出现的次数与试验总次数的比为随机事件A出现的频率(2)概率的统计定义一般地，对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A发生的概率，记作P(A) (3)必然事件和不
3、可能事件的概率把必然事件和不可能事件当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则 P()1，P()0所以对任何一个事件A，都有0P(A)1频率与概率之间有什么关系？提示(1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该枚硬币出现正面向上的
4、概率是0.5，与做多少次试验无关(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值1下列说法：频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；百分率是频率，不是概率；频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值其中正确的是_由频率与概率的定义及两者之间的关系知正确，不正确知识点2古典概型(1)在样本空间为1，2，3，n的一次试验中，每个基本事件k(k1，2，3，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基
5、本事件(2)具有以下两个特点：样本空间只含有有限个样本点；每个基本事件的发生都是等可能的将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型(3)在古典概型中，如果样本空间1，2，n(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件k(k1，2，n)发生的概率都是如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)(4)一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定我们将频率的这个性质称为频率的稳定性因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A
6、发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)2(多选题)下列对古典概型的说法正确的是()A试验中所有可能出现的基本事件含有有限个B每个事件出现的可能性相等C每个基本事件出现的可能性相等D基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)ACD正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性 类型1对概率意义的理解【例1】(对接教材P268练习T3)某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?解如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈对于一次试验来说，其结
7、果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈治愈的概率是0.3，是指如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性随机事件的发生具有随机性，概率值仅说明事件发生的可能性的大小，因此，在解释随机事件的概率时，凡是出现“必定”“肯定”之类的确定性字眼，一般都是错误的跟进训练1试解释下列情况中概率的意义(1)某商场为促进销售
8、，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98解(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98% 类型2频率与概率的关系及求法【例2】某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900)900，1 100)1 100，1 300)1 300，1 500)1 500，1 700)1 700，1 900)1 900，)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上
9、述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率解(1)频率依次是：0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48121208223600，所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6，所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.61频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率2解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率跟进训练2某种菜籽在相同的条件下发芽试
10、验结果如下表：菜籽粒数2510701303107001 5002 0003 000发芽粒数249601162826391 3391 8062 715发芽频率(1)填写表中的菜籽发芽的频率；(2)求该种菜籽发芽的概率解(1)根据表格计算不同情况下种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0.9，且在它的附近摆动故该种菜籽发芽的概率约为0.9 类型3样本点的计数问题【例3】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个
11、试验的样本点的总数；(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些样本点？解(1)这个试验样本空间(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)(2)这个试验的样本点的总数是8(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：(1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；(2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；(3)
12、画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可跟进训练3一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球(1)共有多少个样本点？(2)“两个都是白球”记为事件A，则A包含几个样本点？解法一：(采用列举法)(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，记(1，2)表示摸到1号，2号球则(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5) ，共有10个样本点(2)A(1，2)，(1，3)，(2，3) ，包括3个样本点法二：(采用列表法)(1)设5个球的编号
13、为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本等可能事件即样本点的个数为10(2)A (a，b)，(b，c)，(c，a)，包括3个样本点 类型4利用古典概型公式求解概率【例4】先后掷两枚质地均匀的骰子(1)一共有多少种不同的结果？(2)向上的点数之和是5的结果有多
14、少种？(3)出现两个4点的概率是多少？该试验是否具备古典概型的条件，如何借助概率公式求解？解(1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1，3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果掷第二枚得到的点数掷第一枚得到的点数1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5
15、，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)从表中可以看出，先后掷两枚骰子的所有可能结果共有36种即样本空间有36个样本点，即36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型(2)在所有的结果中，向上的点数之和为5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种(3)记“出现两个4点”为事件B因为事件B出现的可能结果只有1种，所以事件B发生的概率P(B)古典概型的解题步骤(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是古典概型；(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；(4)用公式P(A)求出概率并下结论跟进训练4甲、乙两人参加法律知识竞答，共有1
16、0道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10990(种)，即基本事件总数是90记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6424P(A)1下列说法正确的是()A任何事件的概率总是在区间(0，1)内B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D概率是随机的，在试验前不能确定C不可能事件的概
17、率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率与试验次数有关，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，故D错故选C2已知某彩票中奖的概率为，则下列关于彩票中奖的说法正确的是()A买1张彩票一定不会中奖B买1 000张彩票肯定有1张中奖C买2 000张彩票肯定能中奖D买10 000张彩票不一定会中奖D对随机事件发生可能性大小的度量为事件的概率，所以彩票中奖概率表示买彩票中奖这一随机事件发生的可能性为，所以对于每一张彩票，它中奖的概率均是，与买的张数无关，故D正确3下列试验中，是古典概型的是()A种下一粒种子观察它是否发芽B从规格直径为250 mm0.6 mm的一批合格产
18、品中任意抽取一件，测得直径C抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D某人射击中靶或不中靶CA中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C4书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为_利用列举法求出基本事件总数为10个求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数3个，故所求概率P5袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的
19、概率为_分别以1，2，3，4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P回顾本节知识，自我完成以下问题：1频率与概率的区别与联系有哪些？提示频率与概率的区别与联系如下表所示：名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，随着试验次数的改变而改变，即使做同样次数的重复试验，得到的频率也可能会不同频率是概率的近似值，在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动，频率会越来越接近概率，在大量重复试验的前提下，可将频率近似地作为这个
20、事件的概率，在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率概率是0，1中的一个常数，不随试验结果的改变而改变，它是频率的科学抽象2古典概型有何特点？提示(1)样本点具有有限性；(2)每个基本事件的发生具有等可能性“黄金72小时”中的概率当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字你知道它表示的是什么意思吗？医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即24小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%60%；第三天，存活率
21、为20%30%再往后的话，存活率将进一步减少这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第2448小时内被发现的，那么生还的概率为50%60%；如果是第4872小时内发现的，那么生还的概率为20%30%这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以便发现更多生命的奇迹
