1、2015-2016学年吉林省长春十一中高一（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列说法正确的是（）A第二象限的角比第一象限的角大B若sin=，则=C三角形的内角是第一象限角或第二象限角D不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2记cos（80）=k，那么tan100=（）ABCD3已知集合P=x|x=sin，kZ，Q=y|y=cos，mZ，则P与Q的关系是（）APQBPQCP=QDPQ=4在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆
2、周按逆时针方向运动弧长，到达点B，则点B的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）5如果，那么的值是（）ABCD6已知x（，0），cosx=，则tan2x=（）ABCD7设是第三象限角，且|cos|=cos，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角8给出下列四则函数：sin（x），y=cosx；y=sinx，y=tanxcosx；y=1ln（x2），y=12lnx；y=2+，y=2+其中，是相等函数的一共有（）A1组B2组C3组D4组9设，则使f（x）=x是奇函数且在（0，+）上是单调递减的a的值的个数是（）A4B3C2D110若函数f（x）=x3+x22x2的一个正数零点附
3、近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f（1）=2f（1.5）=0.625f（1.25）=0.984f（1.375）=0.260f（1.438）=0.165f（1.4065）=0.052那么方程x3+x22x2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A1.2B1.3C1.4D1.511函数的零点个数为（）A0B1C2D312若cos2+2msin2m20对R恒成立，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1C1m1+D1m1二、填空题（2015秋长春校级期中）求值：sintan+cos2+sintan+cossin+tan2=14若3cos+4sin=5，则tan15已知f（x）是定义在（，+）
4、上的偶函数，且在（，0是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是16已知函数f（x）=（a为常数），f（x）在区间（2，4）上是减函数，则a的取值范围三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（1）计算：；（2）解方程：18在平面直角坐标系中，点P（，）在角的终边上，点Q（，1）在角的终边上，点M（sin，cos）在角终边上（1）求sin，cos，tan的值；（2）求sin（+2）的值19已知ABC的三个内角A，B，C满足sin（180A）=cos（B90），cosA=cos（180+B），求
5、角A，B，C的大小20已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）与g（x）=log4（a2xa），其中f（x）是偶函数（1）求实数k的值及f（x）的值域；（2）求函数g（x）的定义域；（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围21已知函数f（x）=（）x，x1，1，函数g（x）=f2（x）2af（x）+3的最小值为h（a）（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：mn3；当h（a）的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由2015-2016学年吉林省长春十一中高一（上）期中数学试卷（
6、理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列说法正确的是（）A第二象限的角比第一象限的角大B若sin=，则=C三角形的内角是第一象限角或第二象限角D不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关【考点】象限角、轴线角【专题】证明题【分析】通过给变量取特殊值，举反例，可以排除4个选项中的3个选项，只剩下一个选项，即为所选【解答】解：排除法可解第一象限角370不小于第二象限角100，故A错误；当sin=时，也可能=，所以B错误；当三角形内角为时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C
7、错误故选D【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法2记cos（80）=k，那么tan100=（）ABCD【考点】弦切互化【专题】计算题【分析】法一：先求sin80，然后化切为弦，求解即可法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果【解答】解：法一，所以tan100=tan80=：法二cos（80）=kcos（80）=k， =【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用3已知集合P=x|x=sin，kZ，Q=y|y=cos，mZ，则P与Q的关系是（）APQBPQCP=QDPQ=【考点】集合的包含关系判断及应
8、用【专题】综合题；集合思想；综合法；集合【分析】利用诱导公式，即可得出结论【解答】解：cos=sin（m+）=sin（m+7）=sin（m3），集合P=x|x=sin，kZ，P=Q，故选：C【点评】本题考查集合的关系，考查诱导公式的运用，比较基础4在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动弧长，到达点B，则点B的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】弧度制【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值【分析】作出单位圆，过B作BMx轴，交x轴于点M，结合单位圆能求出B点坐标【解答】解：如图，作出单位圆，由题意，OB=
9、1，过B作BMx轴，交x轴于点M，则，|OM|=，MB=，B（，）故选：A【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要注意单位圆的性质的合理运用5如果，那么的值是（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】根据题意结合诱导公式先对条件进行化简，然后对所求化简，进而可以得到答案【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，故选B【点评】解决此类问题的关键是熟练记忆诱导公式，以及进行正确的化简求值6已知x（，0），cosx=，则tan2x=（）ABCD【考点】二倍角的正切【专题】计算题【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求
10、出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值【解答】解：由cosx=，x（，0），得到sinx=，所以tanx=，则tan2x=故选D【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合7设是第三象限角，且|cos|=cos，则是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【考点】三角函数值的符号【专题】三角函数的求值【分析】根据三角函数的符号和象限之间的关系进行判断即可【解答】解：是第三象限角，在第二象限或在第四象限，由|cos|=cos，cos0
11、，即在第二象限，故选：B【点评】本题主要考查三角函数值的符号和象限之间的关系，比较基础8给出下列四则函数：sin（x），y=cosx；y=sinx，y=tanxcosx；y=1ln（x2），y=12lnx；y=2+，y=2+其中，是相等函数的一共有（）A1组B2组C3组D4组【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】对于，先根据三角函数的诱导公式进行化简，从而可以判断这两个函数的定义域和对应法则都相同，从而相等；而对于可求定义域，会得到定义域不同，从而不相等；而对于进行开平方和立方，从而进行化简，会看出对应法则不同，从而不相等【解答】解：sin（x）=
12、；这两个函数相等；y=sinx的定义域为R，而y=tanxcosx的定义域为x|x，kZ；定义域不同，这两个函数不相等；y=1ln（x2）的定义域为x|x0，y=12lnx的定义域为x|x0；定义域不同，不相等；y=，；解析式不同，这两个函数不相等；相等函数共1组故选；A【点评】考查三角函数的诱导公式，判断两个函数是否相等的方法：看定义域和对应法则是否都相同，有一个不相同便不相等，以及正弦函数、余弦函数，及正切函数的定义域，平方根和立方根的不同9设，则使f（x）=x是奇函数且在（0，+）上是单调递减的a的值的个数是（）A4B3C2D1【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】常规
13、题型；解题方法【分析】由幂函数的性质可知，函数f（x）=x为奇函数，则（）为“奇”数，函f（x）数在（0，+）上是单调递减，0，从而可求【解答】解：由幂函数的性质可知，函数f（x）=x为奇函数，则（或）为奇数所以排除因为函f（x）数在（0，+）上是单调递减则0所以排除故=1故选D【点评】本题主要考查了幂函数 y=x的性质在解题中的应用，解决本题的关键是熟练掌握幂函数的性质：单调性、奇偶性及的取值要求10若函数f（x）=x3+x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f（1）=2f（1.5）=0.625f（1.25）=0.984f（1.375）=0.260f（1.43
14、8）=0.165f（1.4065）=0.052那么方程x3+x22x2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A1.2B1.3C1.4D1.5【考点】二分法求方程的近似解【专题】应用题【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解属于基本概念的运用题11函数的零点个数为（）A0B
15、1C2D3【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合【分析】题目中条件：“函数的零点个数”转化为方程lnx=x22x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x22x左右两式表示的函数图象即得【解答】解：对于函数f（x）=lnxx2+2x的零点个数转化为方程lnx=x22x的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图由图象可得两个函数有两个交点又一次函数2x+1=0的根的个数是：1故函数的零点个数为3故选D【点评】函数的图象直观地显示了函数的性质在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题体现了数形结合的数学
16、思想12若cos2+2msin2m20对R恒成立，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1C1m1+D1m1【考点】三角函数的最值【专题】转化思想；构造法；三角函数的求值【分析】构造函数f（）=cos2+2msin2m2，利用同角三角函数的关系，将问题化为求f（）最大值的问题来解答【解答】解：设f（）=cos2+2msin2m2，要使f（）0对任意的都成立，只需函数y=f（）的最大值小于零即可；f（）=cos2+2msin2m2=1sin2+2msin2m2=（sinm）2+m22m1，当1m1时，函数的最大值为m22m10，解得1m1；当m1时，函数的最大值为f（1）=20，m1时均成立；当m1
17、时，函数的最大值为f（1）=4m20，m，与题意矛盾，应舍去；综上，m的取值范围是m1故选：B【点评】本题考查了三角函数的最值问题，解题时应构造函数，将问题转化为函数恒成立问题来解答，是中档题目二、填空题（2015秋长春校级期中）求值：sintan+cos2+sintan+cossin+tan2=【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可【解答】解：sintan+cos2+sintan+cossin+tan2=+（1）1=故答案为：【点评】本题考查特殊角的三角函数的值的求法，是基础题14若3cos+4sin=5，则tan【考点】
18、三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】由条件可得cos=，平方化简可得25sin240sin+16=0，求得sin 的值，可得cos的值，从而求得tan的值【解答】解：由于3cos+4sin=5，cos=，平方可得9cos2=2540sin+16sin2化简可得：25sin240sin+16=0sin=再把sin=代入3cos+4sin=5，可得cos=，tan=故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题15已知f（x）是定义在（，+）上的偶函数，且在（，0是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6
19、），则a，b，c的大小关系是bac【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键【解答】解：f（x）是定义在（，+）上的偶函数，b=f（log3）=f（log23）=f（log23），log23=log49log471，00.20.61，0.20.6log47log49，在（，0上是增函数，在0，+）上为减函数，则f（0.20.6）f（log47）f（log49），即bac故答案为：bac【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决
20、本题的关键16已知函数f（x）=（a为常数），f（x）在区间（2，4）上是减函数，则a的取值范围1，2）【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】利用复合函数的单调性的性质进行求解【解答】解：设，则函数在定义域上单调递减，要使f（x）在区间（2，4）上是减函数，则设在（2，4）上为增函数因为=a+，所以要使函数t=a+，在（2，4）上为增函数，则a20，即a2，要使函数有意义，则t0，则t=a+0在（2，4）成立，所以只要当x=2时， =2a20，即可，解得a1，综上1a2，故a的取值范围是1，2）故答案为：1，2）【点评】本题主要考查复合函数的单调性的应用，根据同增异减的原则进
21、行判断，同时要主要对数函数的性质的应用三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（1）计算：；（2）解方程：【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】（1）利用指数幂和对数的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质及一元二次方程的解法即可求出【解答】解：（1）原式=+=5+9+=144=10；（2）方程，lgx（lgx2）3=0，lg2x2lgx3=0，（lgx3）（lgx+1）=0，lgx3=0，或lgx+1=0，解得x=1000或【点评】熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键18在平面直角坐标系中，点P（，）在角的终边上，点Q（，
22、1）在角的终边上，点M（sin，cos）在角终边上（1）求sin，cos，tan的值；（2）求sin（+2）的值【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin，cos，tan的值，再利用二倍角公式求得sin2、cos2的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（+2）的值【解答】解：（1）点P（，）在角的终边上，点Q（，1）在角的终边上，点M（sin，cos）在角终边上，sin=，cos=； sin=，cos=；tan=（2）由（1）得 sin2=2sincos=0，cos2=2cos21=，sin（+
23、2）=sincos2+cossin2=1【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题19已知ABC的三个内角A，B，C满足sin（180A）=cos（B90），cosA=cos（180+B），求角A，B，C的大小【考点】运用诱导公式化简求值【专题】计算题；转化思想；数学模型法；三角函数的求值【分析】由sin（180A）=cos（B90），化为sinA=sinB cosA=cos（180+B），可得cosA=cosB，利用平方关系可得：cos2A=，由已知可得A，B都为锐角，可得A又由cosA=cosB，可得B，C=【解答】解：sin（180A）=c
24、os（B90），sinA=sinB，cosA=cos（180+B），cosA=cosB，2+2可得：cos2A=，A（0，），由可知：cosA与cosB同号因此A，B都为锐角，cosA=，A=又由cosA=cosB，cosB=，B=C=A=，B=，【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）与g（x）=log4（a2xa），其中f（x）是偶函数（1）求实数k的值及f（x）的值域；（2）求函数g（x）的定义域；（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围【考点
25、】函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值，化简函数，即可求出f（x）的值域；（2）当a2xa0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g（x）的定义域；（3）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知f（x）=f（x），log4（4x+1）+kx=log4（4x+1）kx，log4=2kx，即x=2kx对一切xR恒成立，k=f（x）=log4（4x+1）x=log4（2x+1）log41=0f（x）的值域是0，+）（2）当a
26、2xa0时，函数解析式有意义当a0时，2x，得xlog2；当a0时，2x，得xlog2综上，当a0时，定义域为x|xlog2；当a0时，定义域为x|xlog2；（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程log4（4x+1）x=log4（a2xa）有且只有一个实根，即方程2x+=a2xa，有且只有一个实根，令t=2x0，则方程（a1）t2a1=0有且只有一个正根，当a=1时，t=，不合题意；当a1时，由=0得a=或3，若a=，则t=2不合题意；若a=3，则t=满足要求；若0，则此时方程应有一个正根与一个负根，0，a1，又0得a3或a，a1综上，实数a的取值范围是3（1，+）【点
27、评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强21已知函数f（x）=（）x，x1，1，函数g（x）=f2（x）2af（x）+3的最小值为h（a）（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：mn3；当h（a）的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由【考点】函数单调性的性质；函数最值的应用【分析】（1）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；（2）由（1）可知a3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可【解答】解：（1）由，已知，设f（x）=t，则g（x）=y=t22at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：当时，g（x）的最小值h（a）=，当a3时，g（x）的最小值h（a）=126a，当时，g（x）的最小值h（a）=3a2综上所述，h（a）=；（2）当a3时，h（a）=6a+12，故mn3时，h（a）在n，m上为减函数，所以h（a）在n，m上的值域为h（m），h（n）由题意，则，两式相减得6n6m=n2m2，又mn，所以m+n=6，这与mn3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值【点评】本题主要考查一次二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”
