1、江苏省南通市启东市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：1.的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可求出的值.【详解】根据诱导公式可得.故选：D.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为零，得出关于的不等式组，即可求出函数的定义域.【详解】由题意可得，解得且，因此，函数的定义域为.故选：C.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运
2、算求解能力，属于基础题.3.满足的集合的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.【详解】满足的集合有：、.因此，满足的集合的个数为.故选：B.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4.在梯形中，是边上的点，且.若记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出图形，由向量加法的三角形法则得出可得出答案.【详解】如下图所示：由题意可得，由向量加法的三角形法则可得.故选：A.【点睛】本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考
3、查数形结合思想的应用，属于基础题.5.已知，是第三象限角，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】为第三象限角，所以，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.6.已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出向量的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数的等式，解出即可.【详解】向量，又且，解得.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的坐标
4、运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的单调性得出与的大小关系，由指数函数的单调性可得出与的大小关系 ，由此可得出、三个数的大小关系.【详解】幂函数在区间上为减函数，即；指数函数在上为增函数，即.因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.8.在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则（ ）A. B. C. D
5、. 【答案】D【解析】【分析】由可得出，根据题意得出，结合可得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出的值.【详解】，则，由正余混弦的定义可得.则有，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解和的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.二、多项选择题：9.已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】作出韦恩图，结合图形可判断出各选项的正误.【详解】如下图所示：全集，集合、满足，则，.故选：BD.【点睛】本题考查集合运算正误的判断，根据题意作出韦恩图是关
6、键，考查数形结合思想的应用，属于基础题.10.已知、是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C 若，则D. 若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义可判断出A、C选项的正误；利用共线向量的定义可判断出B选项的正误；在等式两边平方，可判断出D选项的正误.【详解】对于A选项，设与的夹角为，则，则，则与同向，所以，A选项正确；对于B选项，由于、是三个非零向量，且，则存在非零实数、，使得，B选项正确；对于C选项，则，即，所以，与在方向上的投影相等，C选项错误；对于D选项，在等式两边平方得，整理得，则，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查有关向量命题真假
7、的判断，涉及平面向量数量积的定义、共线向量的定义的理解，考查推理能力，属于基础题.11.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】逐一判断各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间上的单调性，从而可得出结论.【详解】对于A选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，且该函数在区间上为增函数，所以，该函数在区间上为减函数；对于B选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，当时，则该函数在区间上为增函数；对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，当时，则该函数在区间上为增函数，该函数在区间上为减函数；
8、对于D选项，函数为奇函数，且在区间上不单调.故选：AC.【点睛】本题考查基本初等函数单调性与奇偶性的判断，考查推理能力，属于基础题.12.如图所示，点、是函数的图象与轴的交点，点在、之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（ ）A. B. C. 的单调增区间为D. 的图象关于直线对称【答案】AD【解析】【分析】根据图象以及题中信息求出函数的解析式，可判断出B选项的正误；求出的值，可判断出A选项的正误；结合余弦型函数的基本性质可判断出C、D选项的正误.【详解】由题意可知，当的面积最大时，点为函数图象上的一个最高点，设点的坐标为，由余弦型函数的对称性可知，又，则为等腰直角三角形，且，则直线的斜率
9、为，得，则点的坐标为，所以，函数最小正周期为，得，得，则，B选项错误；，A选项正确；解不等式，解得，所以，函数的单调递增区间为，C选项错误；，所以，函数的图象关于直线对称，D选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查余弦型三角函数基本性质的判断，根据图象求出三角函数的解析式是关键，考查计算能力，属于中等题.三、填空题：.13.计算：_.【答案】【解析】【分析】利用指数幂和对数的运算性质可计算出所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查指数与对数计算，考查指数幂与对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知函数，若，则_.【答案】【解析】【分析】分、三种情况解方程，即可得
10、出结果.【详解】，当时，令，解得（舍去）；当时，令，解得或（舍去）；当时，令，解得（舍去）.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查根据分段函数值求自变量的值，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴的非负半轴上滑动，顶点在第一象限内，设.若，则点的坐标为_；若，则的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，设点、，根据锐角三角函数的定义可得出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出的
11、取值范围.【详解】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，如下图所示：则，设点、，则，.当时，则点；由上可知，则，因此，的取值范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查点的坐标的计算，同时也考查了平面向量数量积的取值范围的求解，解题的关键就是将点的坐标利用三角函数表示，考查运算求解能力，属于中等题.16.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，函数在区间和上均有两个零点，利用数形结合思想和代数法可求出实数的取值范围，综合可得出答案.【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；当时，令，得，该方程至多两个根.由于
12、函数恰有个不同的零点，则函数在区间和上均有两个零点.由题意知，直线与函数在区间上图象有两个交点，如下图所示：由图象可知，解得；函数在区间上也有两个零点，令，解得，由题意可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想以及代数法的应用，属于中等题.四、解答题：17.设全集，集合，.（1）当时，求；（2）在，这三个条件中任选一个，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）将代入集合，求出集合和，然后利用交集的定义可求出集合；（2）选择，根据得出关于实数的不等式组，解出即可；选择，由，可得出，可得出关于实
13、数的不等式组，解出即可；选择，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】（1）当时，因此，；（2），.选择，则或，解得或，此时，实数的取值范围是；选择，则，解得，此时，实数的取值范围是；选择，或，解得或，此时，实数的取值范围是.综上所述，选择，实数取值范围是；选择，实数的取值范围是；选择，实数的取值范围是.【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知函数.（1）求的周期和单调区间；（2）若，求的值.【答案】（1）周期为，增区间为，减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想可得出，利
14、用周期公式可求出函数的周期，分别解不等式和，可得出该函数的增区间和减区间；（2）由可得出，利用同角三角函数的平方关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.【详解】（1），所以，函数的周期为，令，解得；令，解得.因此，函数的增区间为，减区间为；（2），.【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）设，可知函数为增函数，由，
15、可得出，且有，将问题转化为二次函数在上的最值问题，利用二次函数的基本性质求解即可.【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数；（2）设，由于函数为增函数，函数为减函数，所以，函数为增函数，当时，则，且，则，令，.所以，.【点睛】本题考查函数奇偶性的证明，同时也考查了指数型函数在区间上最值的求解，利用换元法转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.20.如图，、分别是的边、上的点，且，交于.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；（2）设，设
16、，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.【详解】（1），因此，；（2）设，再设，则，即，所以，解得，所以，因此，.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.21.“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之
17、间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.（1）试求该流水线技术投入的取值范围；（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.【答案】（1）；（2）当时，此时；当时，此时.【解析】分析】（1）由题意得出，解此不等式即可得出的取值范围；（2）比较与的大小关系，分析二次函数在区间上的单调性，由此可得出函数的最大值及其对应的的值.【详解】（1），由题意可得，即，解得，因此，该流水线技术投入的取值范围是；（2）二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线.当时，即当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，；当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以，.综上
18、所述，当时，；当时，【点睛】本题考查二次函数模型的应用，同时也考查了二次函数最值的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.22.已知函数，.（1）若，解关于的方程；（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；（2）当时，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题
19、意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，则，定义域为.由，可得，可得，解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；（2）当时，.当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为增函数，合乎题意；当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为减函数，解得，不合乎题意；当时，令，得，此时，所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.，由于，所以，解得.此时，.综上所述，实数的取值范围是；（3），由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在区间上为减函数，所以，由题意可得，可得，所以，.当时，；当时，令，设，可得.下面利用定义证明函数在区间上的单调性，任取、且，即，即，所以，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.
