1、21.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）人教版 数学 九年级 上册【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？步骤：审题；设元；列式；解答；验根；答案.导入新知【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm，问剪去的小正方形的边长应是多少?解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 .整理得：x-17x+52=0.解方程，得：（x-13）（x-4）=0.解得：x1=4，x2
2、=13（舍去）.因此剪去的小正方形的边长应为3cm.导入新知素养目标1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？27cm21cm探究新知 几何图形的面积问题知识点 1解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边
3、衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为cm，宽为cm因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的_,则中央矩形的面积是封面面积的_(27-18x)(21-14x)所以可列方程得：（27-18x）（21-14x）=34 2721.整理，得 16x2-48x+9=0.解方程，得 x=，x12.8cm，x20.2.所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm.因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm63 34探究新知3414解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，列方程得：解得
4、x 2.6.上、下的边衬的宽为（27-9 2.6）0.5=1.8cm.左、右的边衬的宽为（21-7 2.6）0.5=1.4cm.3972721.4xx探究新知例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=263.整理方程得：2x+9x-9=0.解得：x 10.84，x 2-5.3（不合题意，舍去）.因此：台布的长为：20.84+67.7（尺）.台布的宽为：2
5、0.84+34.7（尺）.即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.利用一元二次方程解答一般面积问题素养考点 1探究新知要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得整理得8x2+204x-319=0,解得 .x1=,x2=(不合题意，舍去).x=1.5.答：镜框的宽度约为1.5cm.1(292)(222)22 2929 224xx5132394x513239451323945132394巩固练习例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另
6、三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m，试求此长方形鸡场的长和宽；ABCD解：设BC=xcm,则AB=CD=12（35-x），依题意可列方程：12(35-x)x=150.整理得：x2-35x+300=0,解方程，得（x-20）(x-15)=0.即：x1=20，x2=15.当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m，即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m.靠墙问题的解答素养考点 2探究新知（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场
7、会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长.探究新知（3）能围成面积为160m的长方形鸡场吗？说说你的理由.解：不能围成面积为160m的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm，由（1）知AB=(35-x)，从而有(35-x)x=160，方程整理为x-35x+320=0.此时=35-41320=-550，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不能围成面积为160m的鸡场.探究新知如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成
8、，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，由题意得 x(25-2x+1)=80.整理，得 x2-13x+40=0.解方程，得（x-5）（x-8）=0.即：x1=5,x2=8.当x=5时，26-2x=1612 (舍去）;当x=8时，26-2x=1012 故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.巩固练习2032xx解：设道路的宽为x米，依题意得例3 如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使
9、草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？还有其他方法吗？2032-32x-20 x+x2=540.修路问题的图形面积素养考点 3探究新知解：设道路的宽为 x 米.2032xx20-x32-x(32-x)(20-x)=540.整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.即 x1=2,x2=50.当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.取x=2.答：道路的宽为2米.方法二:探究新知在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米.(32-x)(20-x)
10、=540.可列方程为探究新知2032xxx20-x如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米.(32-2x)(20-x)=540.可列方程为32-2x探究新知2032xxxx20322x2x32-2x20-2x如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为 x 米(32-2x)(20-2x)=540.可列方程为探究新知在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,
11、余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？探究新知小路所占面积是矩形面积的四分之一剩余面积是矩形面积的四分之三解:设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=2030.20303x2x30-4x20-6x3x2x6x4x30-4x20-6x探究新知34 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.方法点拨探究新知如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向
12、,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?巩固练习解:设道路宽为x米，依题意得整理得，x2-36x+35=0.其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.（32-2x）（20-x）=570.解方程，得（x-35）（x-1）=0.即：x1=35，x2=1.巩固练习公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A（x+1）（x+2）=18 Bx23x+16=0 C（x1
13、）（x2）=18 Dx2+3x+16=0C连接中考1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=0B课堂检测基 础 巩 固 题2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽 解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm，依题意得：5(
14、2x-10)(x-10)=3000.整理得x2-15x-250=0.解方程，得（x-25）（x+10）=0.即 x1=25 x2=-10(舍去）,所以 2x=50.答：铁板的长50cm,宽为25cm.课堂检测解：设AB长是x m，依题意得：(100-4x)x=400.整理得x2-25x+100=0.解方程得（x-20）（x-5）=0.即 x1=5，x2=20.x=20,100-4x=2025 x=5(舍去).答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多
15、少米？DCBA25米课堂检测能 力 提 升 题如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2 3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm，依题意得：(20-6x)(30-4x)=2030 .整理得 6x2-65x+50=0.解方程得215610(舍去）,.xx课堂检测拓 广 探 索 题53答：每个横竖彩条的宽度分别是cm,cm.52.25,3352xx则）（31-1几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类 型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业 谢谢观看Thank You!
