1、函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用建议用时:45分钟一、选择题1函数ysin (2x)在区间,上的简图是()ABCDA令x0,得ysin (),排除B、D.由f()0,f()0,排除C,故选A.2函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为,则f()的值是()A. B C1 DD由题意可知该函数的周期为,2,f(x)tan 2x.f()tan .3(2019潍坊模拟)函数ysin 2xcos 2x的图象向右平移(0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则的值为()A. B C DB由题意知ysin 2xcos 2x2sin (2x
2、),其图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)2sin (2x2)的图象,因为g(x)为偶函数,所以2k,kZ,所以,kZ,又因为(0,),所以.4.已知函数f(x)A sin (x)(0,)的部分图象如图所示,则的值为()A. BC. DB由题意,得(),所以T,由T,得2,由图可知A1,所以f(x)sin (2x).又因为f()sin ()0,所以.5多选函数f(x)A cos (x)(0)的部分图象如图所示,则以下结论,正确的有()A.f(x)的最小正周期为2B.f(x)图象的一条对称轴为直线xC.f(x)在(2k,2k),kZ上是减函数D.f(x)的最大值为A.AC由题图可知,函数f
3、(x)的最小正周期T2()2,故A正确;因为函数f(x)的图象过点(,0)和(,0),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x()k(kZ),故直线x不是函数f(x)图象的对称轴,故B错误;由图可知,当kTxkT(kZ),即2kx2k(kZ)时,f(x)是减函数,故C正确;若A0,则最大值是A,若A0,则最大值是A,故D错误故选AC.二、填空题6将函数f(x)2sin (2x)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为f(x)_2sin (2x)函数y2sin (2x)的周期为,将函数y2sin (2x)的图象向右平移个周期即个单位长度,所得函数为y2sin 2(x)2sin (2x).7.已知
4、函数f(x)sin (x)(0,|)的部分图象如图所示,则yf(x)取得最小值时x的集合为_根据所给图象,周期T4(),故,2,因此f(x)sin (2x),另外图象经过点(,0),代入有22k(kZ),再由|,得,f(x)sin (2x),f(x)sin (2x),当2x2k(kZ),即xk(kZ)时,yf(x)取得最小值8已知f(x)sin (0),ff,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则_依题意,x时,y有最小值,sin 1,2k(kZ).8k(kZ),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以,即12,令k0,得.三、解答题9设函数f(x)cos (x)(0,0)的最小正周期为
5、,且f().(1)求和的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0,上的图象解(1)因为T,所以2,又因为f()cos (2)cos ()sin 且0,所以.(2)由(1)知f(x)cos (2x).列表:2x0x0f(x)1010描点,连线,可得函数f(x)在0,上的图象如图所示10如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数yA sin x(A0,0),x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,的值和M,P两点间的距离解依题意,有A2,3,又T,所以,所以y2sin x,x0,4,所以
6、当x4时,y2sin 3,所以M(4,3),又P(8,0),所以MP5(km),即M,P两点间的距离为5 km.1将函数f(x)tan (x)(010)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合,则()A.9 B6 C4 D8B函数f(x)tan (x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为ytan (x)tan (x),平移后的图象与函数f(x)的图象重合,k,kZ,解得6k,kZ.又010,6.2多选水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转
7、,且旋转一周用时60秒经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足yf(t)R sin (t).则下列叙述正确的是()A.R6,B.当t35,55时,点P到x轴的距离的最大值为6C.当t10,25时,函数yf(t)递减D.当t20时,|PA|6ABD由题意,R6,T60,所以,t0时,点A(3,3)代入可得36sin ,因为|,所以,故A正确;f(t)6sin,当t35,55时,t,所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;当t10,25时,t,函数yf(t)先增后减,C不正确;当t20时,t,P的纵坐标为6,|PA|6,D正确故选ABD.3(2019长春模拟)已知函数f(
8、x)sin xcos x(0),xR.若函数f(x)在区间(,)内单调递增,且函数yf(x)的图象关于直线x对称,则的值为_f(x)sin xcos xsin (x),因为f(x)在区间(,)内单调递增,且函数图象关于直线x对称,所以f()必为一个周期上的最大值,所以有2k,kZ,所以22k,kZ.又(),则2,即2,所以.4已知函数f(x)2sin (2x)(0).(1)若点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,且(0,1),求函数f(x)在0,上的值域;(2)若函数f(x)在,上单调递增,求实数的取值范围解(1)由点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,得k,kZ,(k),kZ.(
9、0,1),f(x)2sin (2x)2sin (x).x0,x,sin (x),1.故函数f(x)在0,上的值域为1,2.(2)令2k2x2k,kZ,解得x,kZ.函数f(x)在,上单调递增,k0Z,使,即又,0,即k0,k00.0,即实数的取值范围为(0,.已知函数f(x)sin x cos xcos2xb1.(1)若函数f(x)的图象关于直线x对称,且0,3,求函数f(x)的单调递增区间;(2)在(1)的条件下,当x0,时,函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围解(1)函数f(x)sinx cos xcos2xb1sin2xb1sin (2x)b.因为函数f(x)的图象关于直线x对称,所以2k,kZ,且0,3,所以1.由2k2x2k(kZ),解得kxk(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间为k,k(kZ).(2)由(1)知f(x)sin (2x)b.因为x0,所以2x,.当2x,即x0,时,函数f(x)单调递增;当2x,即x,时,函数f(x)单调递减又f(0)f(),所以当f()0f()或f()0时,函数f(x)有且只有一个零点,即sin bsin 或1b0,所以b(2,.