1、天津市部分区2020-2021学年高二数学上学期期中练习试题（含解析）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1. 已知向量则（ ）A. 21B. 21C. 20D. 20【答案】A【解析】【分析】先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积.【详解】，所以.故选：A2. 经过、两点的直线的斜率是，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用斜率公式可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】由斜率公式可得，解得.故选：D.3. 若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）A. B. C. 或D. 或
2、【答案】C【解析】【分析】由向量数量积的定义和坐标运算分别计算可得【详解】由题意，解得或故选：C4. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为则（ ）A B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，利用点斜式和截距式可求得所求直线的方程.【详解】若直线过原点，则直线的斜率为，此时，所求直线的方程为，即；若直线不过原点，设可直线方程为，代入点的坐标得，解得，此时，所求直线的方程为.综上所述，所求直线的方程为或.故选：C.5. 已知向量且与互相平行，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由空间向量平行的坐标表示求解【详解】由题
3、意，与互相平行，解得故选：D6. 两圆x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切【答案】B【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与Rr及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系解：把x2+y28x+6y+9=0化为（x4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d=5，因为4354+3即RrdR+r，所以两圆的位置关系是相交故选B考点：圆与圆的位置关系及其判定7.
4、 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过作辅助线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再求解.【详解】如图，连结交于点，取中点，连结，因为点分布是的中点，所以，即异面直线与所成角是或是其补角，设，则底面边长，同理，中，所以，所以，即异面直线与所成角是.故选：A【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，
5、常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角8. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：圆化为标准方程为，所以圆心为（-1,1），半径，弦心距为 因为圆截直线所得弦长为4，所以故选B9. 如图，在四面体中，则二面角的余弦值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】取中点，连接，证得是二面角的平面角，在直角（需证明）中求解即得【详解】取中点，连接，由，得，是二面角的平面角，由，得平面，又平面，设，则，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共
6、24分10. 已知，则_【答案】【解析】【分析】求出，再由向量模的坐标运算计算【详解】由题意，故答案为：11. 过点P(4，1)且与直线3x4y60垂直的直线方程为_【答案】.【解析】【分析】要求直线方程，即要知道一点和斜率，所以就要求直线的斜率，根据所求直线与已知直线垂直得到斜率乘积为1即可求出斜率【详解】因为两直线垂直，直线3x4y+6=0的斜率为，所以所求直线的斜率k=则直线方程为y（1）=（x4），化简得4x+3y13=0故答案为【点睛】此题为基础题，考查学生掌握两直线垂直时斜率乘积为1，会根据一点和斜率写出直线的方程12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则_【答案】6【
7、解析】【分析】由平面法向量与平面的垂线的方向向量平行可得【详解】，故答案为：613. 以为直径两端点的圆的方程是_【答案】【解析】【分析】求出的中点坐标，即圆心坐标，再求得半径后可得【详解】由题意圆心为，半径为，圆方程为【点睛】要求圆的方程只要求得圆心坐标和半径即可，确定圆心位置一般可从几何角度考虑.当然求圆的方程也可利用圆的性质得出，如圆上点相对直径两端点的张角为直角.14. 已知两条平行直线，则与间的距离_【答案】【解析】【分析】由平行求出参数，再根据平行线间距离公式计算【详解】由题意，直线方程为，即，与间的距离为故答案为：15. 在棱长为1的正方体中，为中点，则点到直线的距离为_【答案】
8、【解析】【分析】等面积法解决高的问题.【详解】连接，则，因为,所以，设到直线的距离为，则，代入数据解得.故答案为：【点睛】涉及点到线的距离或者点到面的距离可采用等面积法或者体积法.三、解答题：本大题共5小题，共60分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知的顶点为，（）求AB边上的中线CM所在直线的方程;（）AB边上的高线CH所在直线的方程【答案】（）；（）【解析】【分析】（）求出中点坐标，再求得直线斜率，由点斜式写出直线方程，并整理成一般式即可（）由垂直求出直线的斜率，写出点斜式方程，整理成一般式【详解】（）AB中点M的坐标是，中线CM所在直线的方程是，即中线CM所在直线的方程是，
9、（），高线CH所在直线方程为，即17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，（）求证：；（）求证：平面平面【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明即可；（）先证明平面，可得平面的一个法向量为，再计算平面的一个法向量为，证明即可求证.【详解】证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，（）因为是的中点，所以的坐标为，所以，又因为，所以，所以，即有；（）因为底面是正方形，所以，因为底面，平面，所以，因为，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，取，所以平面的一个法
10、向量为，因为，所以，所以平面平面.【点睛】方法点睛：证明面面垂直方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.18. 已知圆C: （）过点的直线被圆C截得的弦最短，求的方程；（）过点Q(-1，0)的直线与圆C相切，求的方程【答案】（）；（）或【解析】【分析】（）过P点且与CP垂直的弦长最短，从而求斜率即可（）设切线方程为，再由圆心到直线的距离等于半径即可得解.【详解】将圆方程变为标准方
11、程为，其圆心为，半径为，（）由题意，过P点且与CP垂直的弦长最短，圆心C点坐标为，所求直线的斜率，代入点斜式方程得，即（）显然斜率不存在时不满足条件，设切线方程为，即，圆心C到切线的距离，解得或，所求切线方程为或19. 如图，在长方体中，点E在棱AB上移动（）证明：；（）当E为AB的中点时，求点E到平面的距离【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）建立空间直角坐标系，根据空间向量垂直的性质进行证明即可；（）利用空间点到平面的距离公式进行求解即可.【详解】以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间宜角坐标系，设，则，（）因为，所以（）因为E为AB的中点，则，从而，设平
12、面的法向量为，则，也即，得，取，从而，所以点E到平面的距高为20. 如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，且AB=4，BC=2，BE=1（）求BF的长；（）求直线与平面成的角的正弦值【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）建立如图所示的空间直角坐标系，由向量平行求得点坐标，由向量模的坐标表示求得线段长；（）求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值【详解】（）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，由得，解得，于是，即BF的长为（）设为平面的法向量，设，由，得，即，取，得又，设与的夹角为，则所以，直线与平面的夹角的正弦值为【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，求线面角的正弦值，解题方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角的关系求解这是求空间角的常用方法，特别是图形中含有垂直关系用此种方法更加简便
