1、第4节相等关系与不等关系一、教材概念结论性质重现1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0ab；ab0ab；ab0a1(aR，b0)ab(aR，b0)；1(aR，b0)ab(aR，b0)；0)a0)2等式的性质(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立3不等式的性质及推论(1)性质1：如果ab，那么acbc；(2)性质2：如果ab，c0，那么acbc；(3)性质3：如果ab，c0，那么acb，bc，那么ac；(5)性质5：abbc，那么acb；(7)推论2：如果ab，cd，那么acbd；(8)推论3：如果
2、ab0，cd0，那么acbd；(9)推论4：如果ab0，那么anbn(nN，n1)；(10)推论5：如果ab0，那么.1倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0；(2)a0b；(3)ab0,0cd；(4)0axb或axb0.2两个重要不等式若ab0，m0，则：(1)，(bm0)；(2)，(bm0)4均值不等式：(1)均值不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中，称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值5两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)2ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号6利用均值不等式求最值
3、已知x0，y0，(1)如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值(简记：和定积最大)(1)2(ab0)，当且仅当ab时取等号(2)2(a，bR)(3).(4)连续使用均值不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变( )(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( )(3)不等式a2b22ab与成立的条件是相同的( )(4)函数f(x)sin x的最小值为4.( )2设M2a(a2)，N(a1
4、)(a3)，则有()AMNBMN CMNDMNA解析：因为MN2a(a2)(a1)(a3)a22a3(a1)220，所以MN.故选A.3在所给的四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0中，能推出的有()A1个B2个 C3个D4个C解析：成立，即0成立，逐个验证可得，满足题意4已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.B解析：因为0xb，cd，则acbdB若ab0，bcad0，则0C若ab，cd，则adbcD若ab，cd0，则BC解析：若a0b,0cd，则ac0，bcad0，则0，化简得0，故B正确；若cd，则dc，又ab，则adbc，故C正确；若a1，b2，c2，
5、d1，则1，1，1，故D错误故选BC.2设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析：若(ab)a20，则必有ab0，即ab；而当ab时，不能推出(ab)a20，例如a0，b1.所以“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件3已知实数ba0，m”或“a0，m0.因为mbmam(ba)0，所以mbma.因为0，所以1)的最小值为_22解析：因为x1，所以x10.y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，取等号所以函数y(x1)的最小值为22.(2)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a_.3解析：因为x2，所
6、以x20，所以f(x)x(x2)2224.当且仅当x2，即(x2)21时等号成立，解得x1或3. 又因为x2，所以x3，即a3时，函数f(x)在x3处取得最小值拼凑法求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键考向2常值代换求最值已知a0，b0，ab1，则的最小值为_4解析：因为ab1，所以(ab)222224.当且仅当ab时，取等号1将条件“ab1”改为“a2b3”，则的最小值为_1解析：因为a2b3，所以ab1.所以121.当且仅当ab时，取等
7、号2本例条件不变，则的最小值为_9解析：52549.当且仅当ab时，取等号 考向3消元法求最值若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A. B. C. D.A解析：因为正数x，y满足x26xy10，所以y.由即解得0x0，y0，求证：.证明：因为x0，y0,2xy1，所以(2xy)4448，当且仅当，即2xy时取等号又，当且仅当2xy时取等号，所以，当且仅当2xy时取等号两次利用均值不等式求最值的注意点当多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性1设0x0，y0，且1，则xyxy的最小值为_74解析：因为1，所以xyy2x，xyxy3x2
8、y(3x2y)774，当且仅当yx，即x1，y2时取等号所以xyxy的最小值为74.3(2020 天津卷)已知a0，b0，且ab1，则的最小值为_4解析：因为a0，b0，且ab1，所以24，当且仅当且ab1，即或时，等号成立故的最小值为4.考点3利用均值不等式解决实际问题应用性某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t5(其中0xk，k为正常数)现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(102t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万
9、元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，该产品售价为2元/件，所以y2t102tx，代入t5化简，得y20(0xk)(2)y202121217，当且仅当x1，即x1时，上式取等号当k1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当0k0，故y21在0xk上单调递增所以，在xk时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大综上，当k1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当0k1时，促销费用投入k万元时，厂家的利润最大均值不等式的实际应用问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(3)在应
10、用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8xb0，则a2的最小值是_四字程序读想算思a2最小值求
11、最小值的方法？构造定积转化与化归ab01.构造定积；2三角换元1.定和求积定积求和；2变形：b(ab)a，构造定积；3三角代换构造定积1.定和求积积最大，定积求和和最小；2三角代换条件思路参考：消b，转化为含a的式子求最值由于a2中有两个变量，并注意到b(ab)a，则b(ab). 这样就消去变量b，因此a2a24. 当且仅当bab，a2时等号成立，即a，b时等号成立. 故a2的最小值是4.思路参考：用b和ab表达a后求最值注意到b(ab)a，则b(ab)2a2，则a2b(ab)24b(ab)4.当且仅当4b2(ab)21，即a，b时等号成立. 故a2的最小值是4.思路参考：利用三角换元求最值由
12、b(ab)a，联想到三角换元，令abacos2， basin2，于是a2a2a2a24，当且仅当a2，sin221，即a，b时等号成立. 故a2的最小值是4.1利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法. 其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等2基于新课程标准，求最值问题一般要熟练掌握对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养已知x0，y0，且1，则xy的最小值为_16解析：(方法一：1的代换)因为1，所以xy(xy)10.因为x0，y0，所以26.当且仅当，即y3x时，取等号又1，所以x4，y12，所以xy16.所以当x4，y12时，xy取最小值16.(方法二：消元法)由1，得x.因为x0，y0，所以y9.xyyyy1(y9)10.因为y9，所以y90，所以y926.当且仅当y9，即y12时取等号，此时，x4，所以当x4，y12时，xy取最小值16.(方法三：配凑法)由1，得y9xxy，所以(x1)(y9)9.所以xy10(x1)(y9)10216.当且仅当x1y9时取等号又因为1，所以x4，y12.所以当x4，y12时，xy取最小值16.
