1、3.2导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性必备知识预案自诊知识梳理函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间上;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间上;如果f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.(2)可导函数f(x)在a,b上单调递增,则有f(x)0在a,b上恒成立.(3)可导函数f(x)在a,b上单调递减,则有f(x)0在a,b上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f(x)在该区间上不变号.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是x(
2、a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在(a,b)上f(x)0,且f(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上单调递减.()(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0恒成立.()(4)在某区间上f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.()(5)函数f(x)=sin x-2x在(0,)上单调递减.()2.(多选)(2021年1月8省适应测试)已知函数f(x)=xln(1+x),则()A.f(x)在区间(0,+)上单调递增B.f(x)有
3、两个零点C.曲线y=f(x)在点-12,f-12处切线的斜率为-1-ln 2D.f(x)是偶函数3.函数f(x)=ex-ex,xR的单调递增区间是()A.(0,+)B.(-,0)C.(-,1)D.(1,+)4.(2020天津河北区线上测试,6)已知函数f(x)=3x+2cos x,若a=f(32),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bacD.bc0或f(x)0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑f
4、(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导后,f(x)=0有实数根,但不清楚f(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,f(x)=0有实数根,f(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.对点训练2(2020全国2,文21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求实数c的取值范围;(2)设a0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.考点函数单调性的应用(多考向探究)考向1比较大小或解不等式【例3】(1)(2020湖南长郡中学四模,11)若0xln3+13x+1exB.x
5、2+1ex2x+1exln3+13C.ln3+13x+1exx2+1ex2D.ln3+13x2+1ex2x+1ex(2)(2020河北保定二模,文12)设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f(x),若f(x)+f(x)1,f(0)=2 020,则不等式exf(x)ex+2 019的解集为()A.(-,0)B.(-,0)(2 019,+)C.(2 019,+)D.(0,+)解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.对点训练3(1)设f(x),g(x)在a,b上可
6、导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)(2)(2021年1月8省适应测试)已知a5,且ae5=5ea,b4,且be4=4eb,c3,且ce3=3ec,则()A.cbaB.bcaC.acbD.abf(x),则不等式ex-1f(x)0(0(或f(x)0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上单调递增(减).方法一:转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.对点训练4(1)(2020湖南湘潭三模,文12)已知函数f(x)=12ax2+3x-3ex是减函数,则正数a
7、=()A.9B.e2C.3D.e(2)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在区间(-,+)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.-1,1B.-1,13C.-13,13D.-1,-13变式发散1将例4中的“在1,4上单调递减”改为“存在单调递减区间”,其他不变.变式发散2例4中的已知条件不变,把后面的问题改为:讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数.你能不能从具体的实例中抽象出构造辅助函数的数学结论?【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x0时,f(x)+xf(x)
8、0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)答案B解析构造函数F(x)=xf(x).当x0时,F(x)=f(x)+xf(x)0,F(x)单调递减.又因为f(-1)=0,所以F(-1)=0.所以当-1x0时,F(x)0,所以当-1x0.因为f(x)为奇函数,所以F(x)=xf(x)为偶函数,所以当x1时,F(x)0,所以当x1时,f(x)0.综上可知,f(x)0的解集为(-1,0)(1,+).故选B.【例2】已知函数f(x)满足f(x)+2f(x)0,则下列不等式成立的是()A.f(1)f(0)eB.f(2)e
9、f(2)D.f(0)e2f(4)答案A解析设F(x)=2e12xf(x),则F(x)=e12xf(x)+2e12xf(x)=e12xf(x)+2f(x).因为f(x)+2f(x)0,所以F(x)0,所以F(x)在定义域上单调递增.所以F(1)F(0),即2ef(1)2f(0),所以f(1)f(0)e.故选A.【例3】已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)ef(0)B.f(1)=ef(0)C.f(1)ef(0)D.f(1)与ef(0)的大小不确定答案A解析设F(x)=f(x)ex,则F(x)=f(x)-f(x)ex.因为f(x)0,所以F(x)是R上的增函数.所以F(1)F(0),即f(
10、1)ef(0),所以f(1)ef(0).故选A.【例4】定义在区间0,2上的函数f(x),f(x)是其导函数,恒有f(x)f(x)tan x成立,则()A.3f42f3B.f(1)2f6sin 1C.2f6f4D.3f60,cosx0.由f(x)f(x)tanx,得f(x)cosx-f(x)sinx0.设F(x)=f(x)sinx,则F(x)=f(x)sinx-f(x)cosxsin2xF3,即3f42f3.故选A.数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1和例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).例3和例4的解法,它们也有一个共
11、同点:采用导数的商运算法则,即f(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).由此可见,对于含有f(x)和f(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是u(x)f(x)+v(x)f(x)的形式,其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是u(x)f(x)-v(x)f(x)的形式,则此时用导数的商运算法则.在例1中,f(x)+xf(x)0,根据导数的积运算法则,可以看出f(x)的导数为f(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到y=ex,但这里还要考虑系数1和2,进一步猜想到复合函数y=e12x
12、,给上述不等式两边同乘e12x,则从而构造出函数F(x)=2e12xf(x).在例3中,由f(x)f(x),得f(x)-f(x)f(x)tanx,得f(x)cosx-f(x)sinx0,且sinx0,根据导数的商运算法则,可以看出f(x)的导数为f(x),sinx的导数为cosx,从而构造出函数F(x)=f(x)sinx.数学抽象的结论根据题设条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造函数如下.(1)对于不等式f(x)k(k0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.(2)对于不等式xf(x)+f(x)0,构造函数g(x)=xf(x).(3)对于不等式xf(x)-f(x)0
13、,构造函数g(x)=f(x)x(x0).(4)对于不等式xf(x)+nf(x)0,构造函数g(x)=xnf(x).(5)对于不等式xf(x)-nf(x)0,构造函数g(x)=f(x)xn(x0).(6)对于不等式f(x)+f(x)0,构造函数g(x)=exf(x).(7)对于不等式f(x)-f(x)0,构造函数g(x)=f(x)ex.(8)对于不等式f(x)+kf(x)0,构造函数g(x)=ekxf(x).(9)对于不等式f(x)+2xf(x)0,构造函数g(x)=ex2f(x).(10)对于不等式f(x)+lnaf(x)0(a0),构造函数g(x)=axf(x).(11)对于不等式f(x)+
14、f(x)tanx0,构造函数g(x)=f(x)sinx.(12)对于不等式f(x)-f(x)tanx0,构造函数g(x)=f(x)cosx.(13)对于不等式f(x)f(x)0(f(x)0),构造函数g(x)=lnf(x).(14)对于不等式f(x)lnx+f(x)x0(x0),构造函数g(x)=f(x)lnx.3.2导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性必备知识预案自诊知识梳理(1)单调递增单调递减考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.AC3.D由题意知,f(x)=ex-e,令f(x)0,解得x1.故选D.4.D由题意,得f(x)=3-2sinx,所以f(x)在R上恒
15、为正,所以f(x)是R上的增函数.又因为2=log24log27332,所以bca,故选D.5.43,+由题意知f(x)=x+2a-1x0在13,2上恒成立,即2a-x+1x在13,2上恒成立.令g(x)=-x+1x,则g(x)=-1-1x2,g(x)0,则1-2x0,解得0x0).则切线斜率k=f(1)=2.又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)f(x)=1+1-lnxx2=x2+1-lnxx2(x0).令g(x)=x2+1-lnx(x0),则g(x)=2x2-1x(x0).当0x22时,g(x)22时,g(x)0.即g(x)在区间0,22上单调递
16、减,在22,+上单调递增.故g(x)min=g22=32-ln220,所以f(x)0在(0,+)上恒成立.所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间.例2解f(x)的定义域是(0,+).f(x)=1x+2a(1-a)x-2(1-a)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x.令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,为确定函数g(x)的函数类型,对a进行分类讨论.(1)当a=1时,g(x)是常数函数,此时g(x)=10,f(x)=1x0,于是f(x)在(0,+)上单调递增.(2)当a1时,g(x)是二次函数,首先讨论f(x)=0是否有实数根,方程g(x)=0对应的=
17、4(a-1)(3a-1).当0,即13a0,f(x)在(0,+)上单调递增.当=0,即a=13时,g(x)=0有两个相等的实根x1=x2=32,于是f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.当0,即0a1时,g(x)=0有两个不相等的实根分别为x1=12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a),x2=12a+(a-1)(3a-1)2a(1-a).因为x1+x2=1a,x1x2=12a(1-a),所以当0a0且x1x20,所以x10,x20.由x1与x2的表达式知x10,可得0xx2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+)上单调递增;由f(x)0,可得x1x1时,有x1+x20且x1x2
18、0,此时x200,可得0xx1,所以f(x)在(0,x1)上单调递增;由f(x)x1,所以f(x)在(x1,+)上单调递减.综上所述,当0a1时,f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,+)上单调递减.其中x1=12a-(a-1)(3a-1)2a(1-a),x2=12a+(a-1)(3a-1)2a(1-a).对点训练2解设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,其定义域为(0,+),h(x)=2x-2.(1)当0x0;当x1时,h(x)0.所以h(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1
19、-c.故当且仅当-1-c0,即c-1时,f(x)2x+c.所以c的取值范围为-1,+).(2)g(x)=f(x)-f(a)x-a=2(lnx-lna)x-a,x(0,a)(a,+).g(x)=2x-ax+lna-lnx(x-a)2=21-ax+lnax(x-a)2.取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x1时,h(x)0,即1-x+lnx0.故当x(0,a)(a,+)时,1-ax+lnax0,从而g(x)0,得x0;令f(x)0.则f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减.若0x1,则0x2x1f(x)f(ln3),即x2+1ex2x+1exln
20、3+13.故选B.(2)设g(x)=exf(x)-ex,则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.f(x)+f(x)1,ex0,g(x)=exf(x)+f(x)-10,g(x)是R上的增函数.又g(0)=f(0)-1=2019,g(x)2019的解集为(0,+),即不等式exf(x)ex+2019的解集为(0,+).故选D.对点训练3(1)C(2)D(3)(1,+)(1)f(x)g(x),f(x)-g(x)0.f(x)-g(x)在a,b上单调递增.f(a)-g(a)g(x)+f(a).(3)设F(x)=f(x)ex,则F(x)=f(x)-f(x)ex.f(x)f
21、(x),F(x)0,即函数F(x)在定义域上单调递增.ex-1f(x)f(2x-1),f(x)exf(2x-1)e2x-1,即F(x)F(2x-1),x1,不等式ex-1f(x)0,当x-,lna3时,g(x)0;当xlna3,+时,g(x)0恒成立;当00,所以h(t)在(0,1上单调递增.所以h(t)max=h(1)=-13.所以a-13.当-1t0,所以g(t)在-1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(-1)=13.所以a13.综上,-13a13.变式发散1(-1,+)h(x)=lnx-12ax2-2x,x(0,+),所以h(x)=1x-ax-2.由h(x)在(0,+)上存在单调递
22、减区间得,当x(0,+)时,1x-ax-21x2-2x有解.设G(x)=1x2-2x,所以只要aG(x)min即可.而G(x)=1x-12-1,所以G(x)min=-1.所以a-1.变式发散2解h(x)=lnx-12ax2-2x,x(0,+),所以h(x)=1x-ax-2=-ax2-2x+1x.当a=0时,h(x)=-2x+1x,则h(x)在0,12上单调递增,在12,+上单调递减;当a-1时,0,则h(x)0,所以h(x)在(0,+)上单调递增;当-1a0,h(x)=0的两个实数根为x1=-1-1+aa0,x2=-1+1+aa0,且x1x2,所以h(x)在0,-1+1+aa和-1-1+aa,+上单调递增,在-1+1+aa,-1-1+aa上单调递减;当a0时,h(x)=0的两个实数根x1=-1-1+aa0,所以h(x)在0,-1+1+aa上单调递增,在-1+1+aa,+上单调递减.综上,当a-1时,h(x)在(0,+)上单调递增;当-1a0时,h(x)在0,-1+1+aa上单调递增,在-1+1+aa,+上单调递减.
