1、1 归纳与类比11 归纳推理01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、推理推理一般包括_推理和_推理二、归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中_都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到_，由个别到_的推理合情演绎 每一个事物 整体一般双基自测1数列 1,5,10,16,23,31，x,50，中的 x 等于()A38 B39 C40 D41C 解析：前 6 项从第 2 项起每一项与前一项的差分别为 4,5,6,7,8，由此可得 x31940.2如图所示，探索以下规律：根据规律，从 2 015 到 2 0
2、17，箭头的方向依次为()AB CDD 解析：观察规律可得周期 T4，因此 2 015 到 2 017 的箭头与 3 到 5 的一致，故选 D.313422,135932,13571642,135792552，.由上述具体事实可得结论：_.13(2n1)(n1)2(nN)解析：利用归纳推理，第 n 个等式的左边应为 13(2n1)，右边应为(n1)2.探究一 数式中的归纳推理例 1(1)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10()A28 B76 C123 D199(2)已知函数 yf(x)，对任意的两个实数 x1，x2都有 f(x1x2)f(x1
3、)f(x2)成立，且 f(0)0，则 f(2 012)f(2 011)f(2 011)f(2 012)的值是()A0B1C2 0112 012 D2 0122解析(1)观察各等式的右边，它们分别为 1,3,4,7,11，发现从第 3 项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，故 a10b10123.(2)当 x1x20 时，f(0)f(0)f(0)，又因为 f(0)0，所以 f(0)1，于是有 f(xx)f(x)f(x)f(0)1.所以 f(2 012)f(2 012)1，f(2 011)f(2 011)1，f(1)f(1)1，
4、f(0)1，把上面式子等号两边分别相乘，即可得 f(2 012)f(2 011)f(2 011)f(2 012)f(2 0122 012)f(2 0112 011)f(11)f(0)1.答案(1)C(2)B利用归纳推理解决问题的注意事项：归纳推理是一种思维工具，解决这类问题要熟悉有关的知识，要正确运用从特殊到一般的数学思想，常常借助前 n 项的共性来推出一般性的命题本题(2)在求解时，运用了从特殊到一般的方法，先找特殊情况 f(0)1，再归纳出一般结论 f(x)f(x)1.1观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_解析：由前三个式子可以
5、得出如下规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次多 1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大 3,4，.因此，第五个等式为 132333435363212.答案：132333435363212探究二 图与形的归纳推理例 2 有两种花色的正六边形地面砖按下图的规律，拼成若干个图案，则第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36解析 解法一 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第 6 个图案中有菱形纹的正六边
6、形的个数是 65(61)31.解法二 由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 个有菱形纹正六边形围绕(图案 1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，故第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数为 65(61)31.答案 B图形的归纳推理问题，可从图形的变化规律入手求解，一般研究图形中点、线或面等的增加变化数值，结合数列的知识得出规律2在平面内观察：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六边形有 9 条对角线，由此猜想凸 n(n4 且 nN)边形有几条对角线？解析：凸四边形有 2 条
7、对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条，凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条，于是猜想凸 n 边形比凸(n1)边形多(n2)条对角线因此凸 n 边形的对角线条数为 2345(n2)12n(n3)(n4 且 nN)探究三 数列中的归纳推理例 3 已知数列an满足 a11，an12an1(nN)(1)求 a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式 an.解析(1)当 n1 时，a22a112113，当 n2 时，a32a212317，同理可得 a415，a531.(2)由于 a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，所以可归纳猜想 an
8、2n1(nN)数列的归纳推理问题，可求出数列的前几项，然后归纳出数列的通项公式3已知数列an的前 n 项和为 Sn，a123，且 Sn 1Sn2an(n2)，计算 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式解析：当 n1 时，S1a123；当 n2 时，1S22S143，所以 S234；当 n3 时，1S32S254，所以 S345；当 n4 时，1S42S365，所以 S456.猜想：Snn1n2，nN.归纳推理在图表问题中的应用典例 如图，一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它接着按图示在 x 轴，y 轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，则 2
9、 014 秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为()A(44,10)B(10,44)C(11,44)D(43,46)解析 考查粒子运动到关键点(1,1)用时 2 秒，运动到点(2,2)用时 6 秒，运动到点(3,3)用时 12 秒，运动到点(4,4)用时 20 秒，归纳猜想粒子运动到点(n，n)用时 n(n1)秒又当 n 为奇数时，此后 x 秒粒子运动到点(n，nx)；当 n 为偶数时，此后 x 秒粒子运动到点(nx，n)(1xn)由于粒子运动到点(44,44)用时 44451 980 秒，所以 2 014 秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为(10,44)答案 B感悟提高 对于图表信息问题，关键要注意两点(1)根据问题中所呈现出来的图像、图表信息，通过整理、分析、加工，得出一定的结论(2)要充分挖掘其内涵，理清数据之间的关系03 课后 巩固提升
