1、第二课时等比数列前n项和的性质及应用课标要求素养要求1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样
2、的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！等比数列前n项和的性质(1)数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列.(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*).(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1).拓展深化微判断1.等比数列an的前n项和Sn不可能等于2n.()2.若an的公比为q，则a2n的公比为q2.()3.若an的公比为q，则a1a2a3，a2a3a4，a3a
3、4a5的公比也为q.()4.等比数列an是递增数列，前n项和为Sn，则Sn也是递增数列.()提示反例：等比数列an为4，2，1，则S14，S26，S37，逐渐减小，则Sn不是递增数列.5.对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.()微训练1.等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是_.解析易知Sm4，S2mSm8，S3mS2m16，S3m121628.答案282.已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.解析由题意得S奇80，S偶160，所以q2.答案2微思考当等比数列an的公比q1时，若k是
4、偶数，Sk，S2kSk，S3kS2k是等比数列吗？提示不是.如数列1，1，1，1，是公比为1的等比数列，S2S4S2S6S40，不是等比数列.题型一等比数列的连续n项之和的性质【例1】在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解法一S2n2Sn，q1，由已知得得1qn，即qn，代入得64，S3n6463.法二an为等比数列，显然公比不等于1，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，S3nS2n6063.规律方法处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用
5、约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.【训练1】设等比数列an前n项和为Sn，若S38，S624，则a10a11a12()A.32 B.64 C.72 D.216解析由于S3、S6S3、S9S6，S12S9成等比数列，S38，S6S316，故其比为2，所以S9S632，a10a11a12S12S964.答案B题型二等比数列的不连续n项和的性质【例2】一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.解设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇S偶4S偶，即S奇3S偶
6、.数列an的项数为偶数，q.又a1a1qa1q264，aq364，即a112.故所求通项公式为an12，nN*.规律方法(1)在等比数列an中若项数为偶数，则有S偶qS奇，且SnS偶S奇.(2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想.【训练2】一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.解法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(nN*).由已知a11，q1，有由，得q2，85，4n256，n4.故公比为2，项数为8.法二S偶a2a4a2na1qa3qa2n1q(a1a3a2n1)qS奇q，q2.又Sn8517025
7、5，据Sn，得255，2n256，n8.即公比q2，项数n8.题型三等比数列前n项和的实际应用【例3】小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.008121.10)解法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A25 000(10.008)2x5 0001.0082x，A4A2(10.008)2x5 0001.00841.0082xx，A
8、125 0001.00812(1.008101.00881.00821)x0，解得x883.5.故小华每期付款金额约为883.5元.法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2x；A4A2(10.008)2xx(11.0082)；A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)；A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810).年底付清欠款，A125 0001.00812，即5 0001.00812x(11.00821.00841.00810)，x883.5.故小华每期付款金额约为883.5元.规律方法(1)实际生活中的增长率问题，
9、分期付款问题等都是等比数列问题；(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解.【训练3】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意，得an1an；因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度Sna1a2an1250，xn为等比数列，且公比q2，S20S10q10S10102101010 250.(2)设数列bn的公比为q，则q2，qan1an2，ban是首项为b2，公比为2的等比数列
10、.ba1ba2ba6126.10.已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n).证明法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n).当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS(1qn)2(1q2n)2(1qn)2(22qnq2n).又Sn(S2nS3n)(1qn)(2q2nq3n)(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n).法二根据等比数列的性
11、质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n).SSSn(S2nS3n).能力提升11.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)f(y)f(xy).若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn_.解析令xn，y1，则f(n)f(1)f(n1)，又anf(n)，f(1)a1，数列an是以为首项，为公比的等比数列，Sn1.答案112.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年
12、投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式.解第1年投入800万元，第2年投入800万元，第n年投入800万元，所以总投入an8008008004 000(万元).同理，第1年收入400万元，第2年收入400万元，第n年收入400万元.所以总收入bn4004004001 600.综上，an4 000，bn1 600.创新猜想13.(多选题)如果有穷数列a1，a2，a3，am(m为正整数)满足a1am，a2am1，即aiami
13、1(i1，2，m)，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.设bn是项数为2m(m1，mN*)的“对称数列”，且1，2，22，23，2m1依次为该数列中连续的前m项，则数列bn的前100项和S100可能的取值为()A.21001 B.2512C.2264 D.2m122m1001解析由题意知数列bn为1，2，22，23，2m1，2m1，23，22，2，1.若m50，则S10022512，B正确；若51m100，则S10022m122m1001，故D正确.若m100，则S10021001，故A正确.答案ABD14.(多空题)已知集合Px|x2n，nN*，Qx|x2n1，nN*，将PQ的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记Sn为数列an的前n项和，则a29_，使得Sn1 000成立的n的最大值为_.解析数列an的前n项依次为1，2，3，22，5，7，23，.利用列举法可得，当n35时，PQ的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，57，59，2，4，8，16，32，故a2947.S3530230226296261，所以S36S35611 0231 000，所以n的最大值为35.答案4735
