1、2相似三角形的性质1相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方2两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径利用相似三角形性质计算如图，已知ABC中，CEAB于点E，BFAC于点F，若SABC36 cm2，SAEF4 cm2，求sin A的值由题目条件证明AECAFB
2、，得AEAFACAB，由此推知AEFACB，进而求出线段EC与AC的比值CEAB于点E，BFAC于点F，AECAFB90.又AA，AECAFB.又AA，AEFACB.2.设AEk，则AC3k，EC2k.sin A.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的1如图，D，E分别是AC，AB上的点，ADEB，AGBC于点G，AFDE于点F.若AD3，AB5，求：(1)的值；(2)ADE与ABC的周长之比；(3)ADE与ABC的面积之比解：(1)在ADE与ABC中，因为ADEB，BAD为公共角，所以ADEABC，所以
3、.(2)ADE与ABC的周长之比等于它们的相似比，即ADAB35.(3)ADE与ABC的面积之比等于它们相似比的平方，即2.2.如图，在ABCD中，AEEB23.(1)求AEF与CDF周长的比；(2)若SAEF8，求SCDF.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD且ABCD.，即.又由ABCD知AEFCDF，AEF的周长CDF的周长25.(2)SAEFSCDF425，又SAEF8，SCDF50.利用相似三角形的性质解决实际问题如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷经过了解，教学楼、水塔的高分别是20
4、 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m，才能看到水塔连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FGCD于点G，交AB于点H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形ABCD，AFHDFG.AHDGFHFG.即(201.6)(301.6)x(x30)，解得x55.2(m)故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题
5、，构造相似三角形求解3如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中ABC与ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度解：(1)ABCADE.BCAE，DEAE，ACBAED90.AA，ABCADE.(2)由(1)得ABCADE，.AC2 m，AE21820 m，BC1.6 m.，DE16 m.答：古塔的高度为16 m.4有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC12 cm，高AD8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB
6、，AC上，且矩形的长是宽的2倍则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x cm，则长为2x cm.由HGBC，得AHGABC.得AKADHGBC，所以(8x)82x12，即x(cm)则S矩形EFGH2x2(cm2)如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ18(cm2)即加工成的铁片的面积为 cm2或18 cm2.课时跟踪检测(四)一、选择题1如图，ABC中，DEBC，若AEEC12，且AD4 cm，则DB等于()A2 cm B6 cm C4 cm D8 cm解析
7、：选D由DEBC，得ADEABC，.DB428(cm)2.如图，在ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且BEG的面积是1 cm2，则ABCD的面积为()A8 cm2 B10 cm2C12 cm2 D14 cm2解析：选C因为ADBC，所以BEG DAG，因为BEEC，所以.所以2，即SDAG4SBEG4(cm2)又因为ADBC，所以2，所以2，所以SBAG2SBEG2(cm2)，所以SABDSBAGSDAG246(cm2)，所以SABCD2SABD2612(cm2)3如图所示，在ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是()A5
8、 B8.2 C6.4 D1.8解析：选DCBFCDE，.BF1.8.4如图，ABEFCD，已知AB20，DC80，那么EF的值是()A10 B12 C16 D18解析：选CABEFCD，.EFAB2016.二、填空题5(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD中，点E 在AB 上且EB2AE，AC 与DE交于点F, 则_.解析：由CDAE，得CDFAEF，于是3.答案：36如图，在ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF2FG，BC20，ABC的高AD10，则FG_.解析：设FGx，因为EF2FG，所以EF2x.因为EFBC，所以AFEABC，所以，即，
9、解得x5，即FG5.答案：57如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形ABCD40 cm2.SABESDBA15，则AE的长为_解析：因为BAD90，AEBD，所以ABEDBA.所以SABESDBAAB2DB2.因为SABESDBA15，所以ABDB1.设ABk cm，DBk cm，则AD2k cm.因为S矩形ABCD40 cm2，所以k2k40，所以k2(cm)所以BDk10 (cm)，AD4(cm)又因为SABDBDAE20，所以10AE20.所以AE4(cm)答案：4 cm三、解答题8如图，已知ABC中，A90，ABAC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC
10、3AE，求EMC的度数解：如图，作EFBC于点F，设ABAC3，则AD，BC3，CE2，EFFC.BFBCFC2.EFBF212ADAC.FEBADC，21.EMC2MCB，EMC1MCBACB45.9.如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DECD.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，ABCD.ABFE.ABFCEB.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD.DEFCEB，DEFABF.DECD，2，2.SDEF2，SCEB18，SABF8，S四边形BCDFSCEBSDEF1
11、6.SABCDS四边形BCDFSABF16824.10如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的高度，甲在操场上C处直立3 m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE3 m，乙的眼睛到地面的距离FE1.5 m；丙在C1处也直立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6 m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E14 m，求旗杆AB的高解：设F1F与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，GBx m，GMy m.因为MDGB，所以BGFDMF，GBFMDF，所以BGFDMF，所以.又因为MDCDCMCDEF1.5 (m)，所以.又因为ND1GB，同理可证得BGF1D1NF1，所以，即.解方程组成的方程组，得又ABGBGA91.510.5(m)，即旗杆AB的高为10.5 m.
