1、第十一节导数在研究函数中的应用第十一节第一课时导数与函数的单调性授课提示：对应学生用书第41页基础梳理函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)若f(x)0不恒成立，则f(x)0(或f(x)0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件四基自测1(易错点：混淆f(x)的图像)如图所示是函数f
2、(x)的导函数f(x)的图像，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3，0)上是减函数B函数f(x)在区间(3，2)上是减函数C函数f(x)在区间(0，2)上是减函数D函数f(x)在区间(3，2)上是单调函数答案：A2(易错点：忽视定义域)函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0，1)B(0，)C(1，) D(，0)(1，)答案：A3(基础点：求单调区间)函数f(x)cos xxsin x，x(0，)的递增区间为_答案：(0，)4(基础点：导数的应用)函数f(x)x3ax在R上为增函数，则a的取值范围为_答案：0，)授课提示：对应学生用书第41页考点一用导数讨论函数的单调性，求
3、单调区间挖掘1用导数判断简单函数的单调性/ 自主练透例1(1)(2020邯郸模拟)已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A(0，)和(1，)B(0，1)和(2，)C(0，)和(2，) D(1，2)解析函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是(0，)和(2，)答案C(2)设函数f(x)x(ex1)x2，则f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_解析f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)0.当x1，0时，f(x)0.当x(0，)时，f(
4、x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1，0上单调递减答案(，1)，(0，)1，0破题技法根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点：(1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域；(2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f(x)；(3)讨论导函数的符号，不等式f(x)0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f(x)0的解集就是函数f(x)的单调递减区间挖掘2讨论含参数的函数的单调性/ 互动探究例2(1)(2019高考全国卷节选)已知函数f(x)2x3ax2b，讨论f(x)的单调性；解析
5、f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，则f(x)在(，)单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)(2018高考全国卷节选)已知函数f(x)xaln x，讨论f(x)的单调性解析(x)的定义域为(0，)，(x)1.若a2，则(x)0，当且仅当a2，x1时，(x)0，所以(x)在(0，)上单调递减若a2，令(x)0，得x或x.当x时，(x)0；当x时，(x)0.所以(x)在，上单调递减，在上单调递增破题技法对于含参数的函数的单
6、调性要注意对参数的讨论考点二导数在函数单调性中的应用挖掘1导数与解函数不等式、比较大小/ 互动探究例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)f(x)0，则()Aef(2 018)f(2 019)Bef(2 018)f(2 019)Cef(2 018)f(2 019)Def(2 018)与f(2 019)大小不能确定解析令g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)0，所以g(x)0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2 018)g(2 019)，即，所以ef(2 018)f(2 019)，故选A.答案A(2)定义在R上的连续函数f(x
7、)满足f(x)f(x)x2，且x0时，f(x)x恒成立，则不等式f(x)f(1x)x的解集为()A.B.C. D(，0)解析令g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)0g(x)为奇函数，又x0时，g(x)f(x)x0g(x)在(，0)上递减，则g(x)在(，)上递减，由f(x)f(1x)x知f(x)x2f(1x)(1x)2，即g(x)g(1x)，从而x1xx，所以所求不等式的解集为.故选A.答案A破题技法1.含有“f(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数2常见的构造函数思路(1)已知f(x)g(x)f(x)g(x)型：联想构造函数F(x)f(x)g(x
8、)(2)已知“f(x)g(x)f(x)g(x)”型：联想构造函数F(x).(3)已知“f(x)f(x)”型：联想构造函数F(x)exf(x)(4)已知“f(x)ln x”型：联想构造函数F(x)f(x)ln x.挖掘2已知函数单调性求参数/ 互动探究例2设函数f(x)exax2，若f(x)在(0，)单调递增，求a的取值范围解析f(x)exax2，x(0，)，f(x)ex2ax.要使f(x)在(0，)上单调递增，则f(x)ex2ax0恒成立，即a在(0，)恒成立设h(x)，h(x)，x(0，1)时，h(x)0，x(1，)时，h(x)0，h(x)在(0，1)为减，在(1，)为增，h(x)minh(
9、1)，a.破题技法由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围1已知函数f(x)2cos x(msin x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A1，1B1，C
10、， D(，)解析：因为函数f(x)在(，)上单调递减，所以f(x)2msin x4sin2x50在(，)上恒成立，令sin xt(1t1)，则g(t)4t22mt50在1，1上恒成立，所以解得m.故选C.答案：C2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在区间(1，)上单调递增，求a的取值范围；(3)若f(x)在区间(1，1)上单调递减，试求a的取值范围解析：(1)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0(2)因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上单调递增，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3(3)由f(x)3x2a0在(1，1)上恒成立，得a3x2在(1，1)上恒成立因为1x1，所以3x23，所以a3，即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1，1)上单调递减
