1、第一节函数及其表示授课提示：对应学生用书第10页基础梳理1函数的概念(1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数yf(x)，xA，其中定义域：自变量x的取值范围；值域：函数值的集合f(x)|xA2函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图像法3分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数1两种对应关系f：AB
2、表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集2两个关注点(1)分段函数是一个函数(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集3函数的三要素与相等函数函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的，故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数四基自测1(基础点：函数的定义域)函数f(x)的定义域为()A0，2)B(2，)C0，2)(2，) D(，2)(2，)答案：C2(基础点：待定系数法求解析式)若f(x)x2bxc且f(1)0，f(3)0，则f(x)_答案：x24x33(基础点：求函数值)已知函数f(x)log2(x
3、2a)若f(3)1，则a_解析：f(x)log2(x2a)且f(3)1，1log2(9a)，9a2，a7.答案：74(基础点：分段函数)已知函数f(x)，则f(f()_答案：授课提示：对应学生用书第10页考点一求函数的定义域挖掘1求给定函数解析式的定义域/ 自主练透例1(1)函数f(x)lg(3x)的定义域是()A(3，)B(2，3)C2，3) D(2，)解析由题意得解得2x3，故选B.答案B(2)(2020九江七校联考)函数y的定义域是()A(1，3) B(1，3C(1，0)(0，3) D(1，0)(0，3解析由题意得1x3且x0.故选D.答案D破题技法已知函数的具体解析式求定义域的方法(1
4、)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可挖掘2抽象函数的定义域/ 互动探究例2(1)若函数yf(x)的定义域是0，3，则函数g(x)的定义域是()A0，1) B0，1C0，1)(1，9 D(0，1)解析依题意得即0x1，因此函数g(x)的定义域是0，1)，故选A.答案A(2)若函数f(2x1)的定义域为1，1，则函数f(x21)的定义域为_解析因为f(2x1)的定义域为1，1，即1x1，所以12x
5、13，对函数f(x21)而言，1x213，解得2x2.答案2，2破题技法1.若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出2若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域提醒：(1)定义域的形式是集合或者区间；(2)混淆f(2x1)与f(x)与f(x21)中的x的意义1若例2(1)的条件不变，求g(x)的定义域解析：，定义域为0，1)(1，2若例2(2)条件不变，求f(x)的定义域解析：由1x1，得12x13，f(x)的定义域为1，3考点二求函数的解析式挖掘1待定系数法求解析式/ 互动探究例1已知f(x)是一
6、次函数，且ff(x)4x3，则f(x)的解析式为_解析由题意设f(x)axb(a0)，则ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3，解得或故所求解析式为f(x)2x3或f(x)2x1.答案f(x)2x3或f(x)2x1破题技法方法解读适合题型待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式挖掘2配凑、换元法求解析式/ 自主练透例2已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_解析法一：设t1(t1)，则x(t1)2，f(t)(t1)22(t1)t
7、22t12t2t21，f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21，f(x)x21(x1)答案f(x)x21(x1)破题技法方法解读适合题型配凑法由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式形如yf(g(x)的函数解析式换元法对于形如yf(g(x)的函数解析式，可令tg(x)，从中求出x(t)，然后代入表达式求出f(t)，得到关于t的解析式，再将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是tg(x)的值域形如yf(g(x)的函数解析式挖掘3方程组法求解析式/ 互动探究例3已知函数f(
8、x)满足f(x)2fx，求f(x)的解析式解析由f(x)2fx，得f2f(x)，2得f(x)x4f(x)，则f(x)x.破题技法方法解读适合题型解方程组法已知f(x)与f(g(x)满足的关系式，要求f(x)时，可用(x)代替两边的所有x，得到关于f(x)及f(x)的方程组，解之即可得出f(x)已知关于f(x)与f或f(x)与f(x)的表达式已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1，则f(x)_解析：在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1，代入f(x)2f1中，可求得f(x).答案：考点三分段函数及应用挖掘1已知自变量求函数值/ 自主练透例1(2020合肥一模)已知函
9、数f(x)则ff(1)()AB2C4 D11解析函数f(x)f(1)1223，ff(1)f(3)34.故选C.答案C挖掘2给定函数值求自变量/ 互动探究例2(1)已知f(x)若f(a)，则a_解析若a0，由f(a)得，a，解得a；若a0，则|sin a|，a，解得a.综上可知，a或.答案或(2)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)_解析当a1时，f(a)2a23无解；当a1时，由f(a)log2(a1)3，得a18，解得a7，所以f(6a)f(1)212.答案挖掘3分段函数与不等式问题/ 互动探究例3(2018高考全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，
10、1 B(0，)C(1，0) D(，0)解析当即x1时，(x1)(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，(x1)(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集为(1，0)当即x0时，(x1)1，(2x)1，不合题意综上，不等式(x1)(2x)的解集为(，0)故选D.答案D挖掘4分段函数与方程问题/ 互动探究例4(2018高考全国卷)已知函数(x)g(x)(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1，0) B0，)C1，) D1，) 解析令h(x)xa，则g(x)(x)h(x)在同一坐标系中画出y(x)，yh(
11、x)图像的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则y(x)的图像与yh(x)的图像有2个交点，平移yh(x)的图像，可知当直线yxa过点(0，1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.答案C破题技法1.根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解2已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论将例3改为f(x)，满足f(x1)f(2x)的x的范围为_解析：由题意得，得x0.答案：(，0)
