1、第四章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展 1.复数的定义(1)规定i2=-1,其中i叫作虚数单位.(2)若aR,bR,则形如a+bi的数叫作复数.必备知识自主学习【思考】i2=-1,是否有i=?提示:i2=-1并不是i=,只是说明i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一 个根,方程x2=-1的另一个根是-i.112.复数的表示(1)复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR).(2)复数z=a+bi(a,bR)中,a是实部,用Re z表示,b是虚部,用Im z表示.【思考】复数2-3i的虚部是-3i吗?是3吗?提示:都不是,复数2-3i的虚部是
2、-3.3.复数的分类 【思考】当实数m为何值时,(m-1)i为实数?提示:当m-1=0,即m=1时,(m-1)i为实数.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.()(2)若aR,则(a+1)i是纯虚数.()(3)实数集的补集是虚数集(全集是复数集).()提示:(1).若b=0,则z=a+bi为实数.(2).当a=-1时,(a+1)i不是纯虚数.(3).2.复数z=1-2i的虚部为()A.2i B.-2i C.2 D.-2【解析】选D.形如a+bi(aR,bR)的数叫作复数,a和b分别叫它的实部和虚部,所以复数z=1-2i的虚部为-2.3.若
3、复数(a-2)+(a+3)i是纯虚数,则实数a的值为()A.-2 B.-3 C.3 D.2【解析】选D.由题意可得a-2=0且a+30,所以a=2.关键能力合作学习 类型一 复数的有关概念【典例】写出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数.2+3i;-3+i;0.【思路导引】复数z=a+bi(a,bR)的实部为a,虚部为b.1 i2；3i；2【解析】的实部为2,虚部为3,是虚数;的实部为-3,虚部为 是虚数;的实部为 虚部为1,是虚数;的实部为,虚部为0,是实数;的实部为0,虚部为 是纯虚数;的实部为0,虚部为0,是实数.12，2，3，【解题策略】判断复数a+bi的实部、虚部
4、的关键(1)看形式:看复数的表示是否是a+bi的形式.(2)看属性:看a,b是否都是实数.(3)看符号:复数的实部和虚部的符号是易错点.【跟踪训练】符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由.(1)实部为-的虚数.(2)虚部为-的虚数.(3)虚部为-的纯虚数.(4)实部为-的纯虚数.2222【解析】(1)存在且不唯一,如-+i等.(2)存在且不唯一,如1-i等.(3)存在且唯一,即-i.(4)不存在,因为纯虚数的实部为0.222【补偿训练】请指出复数 的实部和虚部,其中有没有纯虚数?【解析】的实部是0,虚部是 的实部是 虚部是 的实部是 ,虚部是0.其中 是纯虚数.
5、11i35i32，1i31.335i3，5.12121i3类型二 复数的分类与参数的值【典例】1.已知复数z=+(a2-1)i是实数,则实数a的值为()A.1或-1 B.1 C.-1 D.0或-1 2.求当实数m为何值时,z=+(m2+5m+6)i分别是(1)虚数.(2)纯虚数.1a12mm6m3【思路导引】z=a+bi(a,bR),当b=0时,z为实数;当b0时,z为虚数;当a=0且b0时,z为纯虚数;当a0且b0时,z为非纯虚数的虚数.【解析】1.选C.因为复数z=+(a2-1)i是实数,且a为实数,则 解得a=-1.2.(1)复数z是虚数的充要条件是 解得m-3且m-2.所以当m-3且m
6、-2时,复数z是虚数.1a12a10a10 ，2m5m60m30,，(2)复数z是纯虚数的充要条件是 所以m=3.所以当m=3时,复数z是纯虚数.22mm60m2m3m3m3m2m5m60 ，或 ，即 且，【解后反思】利用复数的代数形式对复数分类时,关键问题是什么?提示:利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组),求解参数时,注意考虑问题要全面.【解题策略】注意复数的概念、分类和表示(1)明确复数的定义:形如z=a+bi(a,bR)的数叫作复数,其中,a,b分别叫作复数的实部、虚部.(2)注意复数的概念和分类:数系表中,实数集和虚数集的交
7、集是空集,虚数集和纯虚数集的交集不是空集,在求参数的值或参数的取值范围时要注意.【跟踪训练】已知z=m2-1+i(mR,i为虚数单位),则“m=-1”是“z为纯虚 数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2(m3m2)【解析】选C.当m=-1时,是纯虚数,所以充分性成立,当z=m2-1+i是纯虚数时,则 解得m=-1,所以必要性成立,所以m=-1是z为纯虚数的充分必要条件.22z(1)1(1)3(1)2i6i 2(m3m2)22m10m3m20，【补偿训练】设z=(m-1)+ilog2(5-m)(mR).(1)若z是虚数,求m的取值范围.(
8、2)若z是纯虚数,求m的值.【解析】(1)因为z是虚数,故其虚部log2(5-m)0,m应满足的条件是 解得1m5,且m4.12logm10,5m0,5m1,(2)因为z是纯虚数,故其实部 (m-1)=0,虚部log2(5-m)0,m应满足的条件是 解得m=2.12logm11,5m0,5m1,课堂检测素养达标 1.复数-2i的实部与虚部分别是()A.0,2 B.0,0 C.0,-2 D.-2,0【解析】选C.-2i的实部为0,虚部为-2.2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是()【解析】选C.由题意可知a2=2,-(2-b)=3,所以a=,b=5.A.2 1 B.2 5 C.2 5 D.2 1，23.下列复数中,满足方程x2+2=0的是()A.1 B.i C.i D.2i【解析】选C.因为i2=-1,所以 =-2.22(2i)4.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR)是一个负实数,则k的值为_.【解析】由题意知 解得k=2.答案:2 22k3k0,k5k60,5.实数m取什么数值时,复数z=(m+1)+(m-1)i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-10,即m1时,复数z是虚数.(3)当m+1=0,且m-10时,即m=-1时,复数z是纯虚数.
