1、天津市部分区2017年高三质量调查试卷（一）数 学（理工类）一、选择题：（1）-（4）ABCC （5）-（8）ADDC二、填空题： （9）4 （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题:（15）（本小题满分13分）解：（），.2分 ， .4分所以周期. .6分（）由()知，因为，所以，.8分所以，.10分故当时，函数的最大值为；当时，函数的最小值为. .13分（16）（本小题满分13分）解：（）从名学生随机选出名的方法数为，选出人中不属于同一班级的方法数为 4分设名学生不属于同一班级的事件为所以. 6分（）可能的取值为；. 10分所以的分布列为所以13分(17)（本小题满分1
2、3分）（）证明：取的中点，连接分别是，的中点，且；1分，且； 3分又平面，平面，平面4分（）（方法一） 以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则 , .6分设平面PAB的一个法向量为，则从而令，得. 7分同理可求平面ABD的一个法向量为. 8分.平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角的余弦值为 10分（方法二） 以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则, 6分设平面PAB的一个法向量为，则，令，得，即. 7分易求平面ABC的一个法向量为. 8分.所以二面角的余弦值为 10分（）（方法一）建系同(II)（方法一），设
3、由(II)知平面ABCD的一个法向量为，；11分若与平面所成的角为，则解得，所以.13分（方法二）建系同(II)（方法二），设,则由(II)知平面ABCD的一个法向量为.11分若与平面所成的角为，则.解得，则，从而13分（18）（本小题满分13分）解：（）由，得，整理得，所以为等差数列， 2分由，前9项和为81，得； 4分当时，即；当时，得，所以（n2）满足，所以 7分（） 8分，又， 9分以上两式作差，得.所以, 因此，. 13分（19）（本小题满分13分）解：（）由题意,得，1分则，结合，得，即，2分亦即，结合，解得.所以椭圆的离心率为.4分（）由()得，则.将代入椭圆方程，解得.所以椭圆
4、方程为.6分易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.设直线的方程为，与联立消得,所以.设,则,.8分由，得的中点,因为在直线上，所以，解得. 10分所以，得,且，.又原点到直线的距离， 12分所以.当且仅当时等号成立，符合,且.所以面积的最大值为. 14分（20）（本小题满分14分）解：（）当时，则，所以所求切线方程为，即.（）由，得.令，则.当，即时，恒成立，则，所以在上是减函数.当，即时，则，所以在上是减函数.当，即或.(i)当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为，则恒成立，从而，所以在上是减函数.(ii)当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为，则函数有两个零点，列表如下： 减函数极小值增函数极大值减函数综上，当时，的减区间是；当时，的增区间是，减区间是，.（）根据（），当时,有两个极值点，则是方程的两个根，从而.由韦达定理，得.又，所以. .令，则.当时，；当时，则在上是增函数，在上是减函数，从而，于是.
