1、2 独立性检验 2.1 条件概率与独立事件 1.条件概率 必备知识自主学习 条件 设A,B为两个事件,且P(A)0,P(B)0 含义 在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率或在事件B发生的条件下,事件A发生的概率 记作 P(B|A)或P(A|B)读作 A发生的条件下B发生的概率或B发生的条件下A发生的概率 计算 公式 缩小样本空间法:P(B|A)=_或P(A|B)=_ 公式法:P(B|A)=_ 或P(A|B)=_ n(AB)n(A)n(AB)n(B)P(AB)P(A)P(AB)P(B)2.条件概率的性质(1)P(B|A)0,1.(2)如果B与C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)
2、+P(C|A).3.相互独立的概念 设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.4.相互独立的性质(1)如果A,B相互独立,则A与 ,与B,_与 也相互独立.(2)若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).(3)如果A1,A2,An相互独立,则有 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).BAAB【思考】(1)P(B|A)与P(A|B)意义相同吗?提示:P(B|A)与P(A|B)意义不同,由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率;而P(A|B)表示在事件
3、B发生的条件下事件A发生的条件概率.(2)P(B|A)与P(B)意义相同吗?提示:P(B|A)与P(B):在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.()(2)P(B|A)与P(A|B)不同.()(3)必然事件与任何一个事件相互独立.()(4)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.()提示:(1).事件A,B互斥,则P(B|A)=0,故说法错误.(2).P(B|A)=P(A|B)=所以P(B|A)与P(A|B)不同.(3).
4、必然事件不影响任何一个事件的结果,所以必然事件与任何一个事件相互 独立.(4).“P(AB)=P(A)P(B)”能与“事件A,B相互独立”互相推导.P(AB),P(A)P(AB),P(B)2.已知P(AB)=P(A)=则P(B|A)为()【解析】选B.P(B|A)=310，35，9191A.B.C.D.5021043P(AB)110.3P(A)253.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=则P(EF)的值等于()【解析】选B.因为事件E与F相互独立,所以P(EF)=P(E)P(F)=14，111A 0B.C.D.1642111.4416关键能力合作学习 类型一 判断事件是否是相互独立事件
5、【典例】判断下列各对事件,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?(1)掷一枚骰子一次,事件M:“出现的点数为奇数”,事件N:“出现的点数为偶数”;(2)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”;(3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M:“第一次摸到白球”,事件N:“第二次摸到白球”.【思路导引】由独立事件定义可知,两事件是否相互独立就是看一个事件发生与否对另一事件发生的概率有无影响,有影响则不独立,无影响则相互独立.【解析】(1)二者不可能同时发生,所以M与N是互斥事件.(2)基本事件=1,2,3,4,5,6,事件A=2,4,6,事件B=3
6、,6,事件AB=6,P(A)=P(B)=P(AB)=即P(AB)=P(A)P(B),故事件A与事件B相互独立,A,B不是互斥事件.(3)事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响,故M与N是相互独立事件.12，13，111623，【变式探究】判断事件是否是相互独立事件常用到数学核心素养中的逻辑推理.若(2)中事件B改为“出现6点”,判断A与B是否是相互独立事件.【解析】基本事件=1,2,3,4,5,6,事件A=2,4,6,事件B=6,事件AB=6,P(A)=P(B)=P(AB)=即P(AB)P(A)P(B),故事件A与事件B不是相互独立事件,A,B不是互斥事件.12，16，111626，【解题策
7、略】判断两个事件是否相互独立的两种方法(1)根据问题的实质,直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件.(2)定义法:通过式子P(AB)=P(A)P(B)来判断两个事件是否相互独立,若上式成立,则事件A,B相互独立,这是定量判断.【跟踪训练】一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A=一个家庭中既有男孩又有女孩,B=一个家庭中最多有一个女孩.对家庭中有两个小孩.(1)讨论A与B的独立性.(2)本题条件不变,改为“家庭中有三个小孩”,讨论A与B的独立性.【解析】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为=(男,男),(男,女)
8、,(女,男),(女,女),它有4个基本事件,由等可能性知概率都为 这时A=(男,女),(女,男),B=(男,男),(男,女),(女,男),AB=(男,女),(女,男),于是P(A)=P(B)=P(AB)=由此可知P(AB)P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.1.412，34，1.2(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为=(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女).由等可能性知这8个基本事件的概率均为 这时A中含有6个基本事件,B中含有 4个基本事件,AB中含有3个基本事件.于是P(A)
9、=P(B)=P(AB)=显然有P(AB)=P(A)P(B)成立.从而事件A与B是相互独立的.18，6384，4182，38，38类型二 条件概率【典例】集合A=1,2,3,4,5,6,甲,乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.【思路导引】分析甲抽到奇数的事件和在此条件下乙抽到的数比甲大的事件.【解析】(方法一 定义法)将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇 数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2)
10、,(5,3),(5,4),(5,6),共15种,在这15种情形中,乙抽到的数比甲抽到 的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9种,所以所求概率 93P.155(方法二 公式法)设“甲抽到奇数”为事件A,“乙抽到的数比甲抽到的数大”为 事件B.P(A)=P(AB)=所以P(B|A)=1,2933010，3P(AB)310.1P(A)52 【变式探究】条件概率的求解常用到数学核心素养中的逻辑推理.若甲先取(放回),乙后取,若事件A:“甲抽到的数大于4”;事件B:“甲,乙抽到的两数之和等于7”,求P(B|A).【解析】
11、(方法一)甲抽到的数大于4的情形有:(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12种,其中甲,乙抽到的两 数之和等于7的情形有:(5,2),(6,1),共2种.所以P(B|A)=(方法二)P(A)=P(AB)=所以P(B|A)=21.1261,321,36181P(AB)118.1P(A)63【解题策略】计算条件概率的方法 1.利用缩小基本事件范围 将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中 仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的
12、概率空 间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=这里n(A)和n(AB)的计数 是基于缩小的基本事件范围的.n(AB)n(A)，2.利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A).(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)=这个公式适用于一般情形,其中 AB表示A,B同时发生.P(AB)P(A)，【跟踪训练】如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地掷到圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”,则P(A)=_,P(B|A)=_.【解析】因为圆的半径为1,所以圆的面积S=r2=,正方形EF
13、GH的面积为 =2,所以P(A)=P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形EFGH中,则豆子落在扇 形HOE(阴影部分)”的概率,所以P(B|A)=答案:22r()22.1.4214【补偿训练】某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的 概率为 两次闭合后都出现红灯的概率为 则在第一次闭合后出现红灯的条 件下第二次闭合后出现红灯的概率为()12，15，1121A.B.C.D.10552【解析】选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红 灯”为事件B,则由题意可得P(A)=P(AB)=则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率是
14、:P(B|A)=12，15，1P(AB)25.1P(A)52类型三 概率的计算 角度1 条件概率性质的应用【典例】在一个袋子中装有10个球,设有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次摸2个,求在摸到第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.【思路导引】第二个球是黄球或黑球,这个事件是互斥事件的并事件,用公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)求解.【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事件C,则P(A)=P(AB)=P(AC)=所以P(B|A)=P(C|A)=所以P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)=所
15、以所求的条件概率为 110，1 2110 945，1 310 91.30P(AB)112P(A)45109，P(AC)P(A)111.30103215.939 5.9 【变式探究】概率的计算常用到数学核心素养中的数学运算.外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B,第二个盒子中有红球和白球各5个,第三个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验为成功.求试验成功的概率.【解析】
16、设A=从第一个盒子中取得标有字母A的球,B=从第一个盒子中取得标 有字母B的球,R=第二次取出的球是红球,W=第二次取出的球是白球,则P(A)=P(B)=所以P(R|A)=P(W|A)=P(R|B)=P(W|B)=所以P(RARB)=P(RA)+P(RB)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=710，310，12，12，45，15，17430.59.210510角度2 相互独立事件概率的计算【典例】为防止某突发事件发生,有甲,乙,丙,丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲,乙,丙,丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表:预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9
17、0.8 0.7 0.6 费用(万元)90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.【思路导引】在总费用不超过120万的前提下,分多种情况分析,确定预防方案.【解析】方案1:单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元,由题表可知,采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为0.9.方案2:联合采用两种预防措施,费用不超过120万元.由题表可知,联合甲,丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.联合甲,丁或乙,丙或乙,丁或丙,丁两
18、种预防措施,此突发事件不发生的概率均小于0.97.所以联合甲,丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为0.97.方案3:联合采用三种预防措施,费用不超过120万元,故只能联合乙,丙,丁三种预防措施.此时突发事件不发生的概率为1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=0.976.由三种预防方案可知,在总费用不超过120万元的前提下,联合使用乙,丙,丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大.【解题策略】1.利用条件概率性质解题的策略(1)分析条件,选择公式:首先看事件B,C是否互斥,若互斥,则选择公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).(2)分解计算,代入求值:为了求
19、比较复杂事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.2.概率问题中的数学思想(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P()=1)简化问题,是求解概 率问题最常用的方法.(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知 事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几 步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件).(3)方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方 程(组)使问题获解.A【拓展延伸】与独立事件有关的
20、概率计算方法 在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好 一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义,已知两个事件 A,B,它们发生的概率分别为P(A),P(B),那么:A,B中至少有一个发生的事件为AB;A,B都发生的事件为AB;A,B都不发生的事件为 ;A,B恰有一个发生的事件为(A )(B);A,B中至多有一个发生的事件为(A )(B)().ABABABAB 它们之间的概率关系如表所示【拓展训练】甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:(1)2人都射中目标的概率.(2)2人中恰有1人射中目标的概率.
21、(3)2人中至少有1人射中目标的概率.(4)2人中至多有1人射中目标的概率.【解析】记“甲射击1次,击中目标”为事件A,“乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,与B,A与 ,与 为相互独立事件,(1)2人都射中目标的概率为:P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72.BABA(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生),另一种是甲未射中、乙射中(事件 B发生).根据题意,事件A 与 B互 斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率 为:P(A )+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8(1-0.9)+(
22、1-0.8)0.9=0.08+0.18=0.26.BABAABBA(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况,其概率为:P=P(AB)+P(A )+P(B)=0.72+0.26=0.98.(4)“2人中至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”,故所求概率为:P=0.02+0.08+0.18=0.28.BAP(A B)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)【跟踪训练】有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是 乙能解决的 概率是 2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为_,问题得到解决的概率为_.1
23、2，13，【解析】甲、乙两人都未能解决的概率为 问题得到解决 就是至少有1人能解决问题.所以P=1-答案:11(1)(1)23 121233 ，12.331233【补偿训练】根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率.(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.【解析】记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由 题意得A与B,都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C=AB.所以P(
24、C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.50.6=0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)0.6=0.3.ABAB AB与，与，与AAA类型四 相互独立事件的综合应用【实际情境】在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.【转化模板】
25、1.建 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.2.设 设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”.3.译 所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A )=P(A)P()=P(A)1-P(B).4.解 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌 手”,则P(A)=P(B)=因为事件A与B相互独立,所以观众甲选中3号歌手且观 众乙未选中3号歌手的概率为 BB23，3.5P(AB)P(A)P(B)224P(A)1P(B).3515课堂检测素养达标 1.甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两
26、班各派1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是()5513A.B.C.D.2412248【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为甲班、乙班派 出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,则P(AB)=P(A)P(B)=961.3636242.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙去北京旅游的概率为 .假定二人 的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 _.1314【解析】记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A,“乙去北京旅游”为事件B,两人均不去的概率为 =1-P(A)1-P(B)=,甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为
27、甲、乙二人都不去北京旅游,故所求 概率为1-P()=1-答案:PABPA PB（）（）（）111(1)(1)342AB11.22123.由0,1组成的三位编号中,若用A表示“第二位数字为0的事件”,用B表示“第一 位数字为0的事件”,则P(A|B)=_.【解析】因为第一位数字可为0或1,所以第一位数字为0的概率P(B)=,第一位 数字为0且第二位数字也是0,即事件A,B同时发生的概率P(AB)=所以P(A|B)=答案:12111224 ，1PAB14.1PB22（）（）124.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确
28、回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_.【解题指南】本题可以肯定第3,4题一定回答正确,第二题一定错误,根据第一题的对错可分为两种情况.【解析】由题设,分两类情况:(1)第1题正确,第2题错误,第3,4题正确,由概率乘法公式得P1=0.80.20.80.8=0.102 4.(2)第1,2题错误,第3,4题正确,此时概率P2=0.20.20.80.8=0.025 6.由互斥事件概率公式得P=P1+P2=0.102 4+0.025 6=0.128.答案:0.128【新情境新思维】现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第一次抽到舞蹈节目的概率.(2)第一次和第二次都抽到舞蹈节目的概率.(3)在第一次抽到舞蹈节目的条件下,第二次抽到舞蹈节目的概率.【解析】设第一次抽到舞蹈节目为事件A,第二次抽到舞蹈节目为事件B,则第一次 和第二次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)P(A)=(2)P(AB)=(3)由(1)(2)可得,在第一次抽到舞蹈节目的条件下,第二次抽到舞蹈节目的概率 为P(B|A)=4 52.6 534 32.6 55235.253PABPA（）（）
