1、求曲线的方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=32.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),顶点C的轨迹是()A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一
2、个点D.两个点4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.9B.8C.4D.5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足=+,其中,R,且+=1,O为坐标原点,则点C的轨迹为()A.射线B.直线C.圆D.线段二、填空题(每小题8分,共24分)6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足=4,则点P的轨迹方程是.7.(2013珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-,则动点P的轨迹方程为.8.(2013揭阳高二检测)已知直线l:
3、+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么?10.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.答案解析1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是
4、以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆,方程为(x+1)2+(y-2)2=9.2.【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=,y=,x0=2x+1,y0=2y-2.点P在直线2x-y+3=0上,2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.3.【解题指南】利用等腰三角形的性质知|CA|=|CB|.【解析】选B.ABC为等腰三角形,|CA|=|CB|,点
5、C的轨迹应是AB的中垂线,又C为AB中点时不能构成三角形,C的轨迹应是一条直线去掉一点.4.【解析】选C.设P(x,y),由|PA|=2|PB|,知=2.化简整理,得(x-2)2+y2=4,所以动点P的轨迹是圆心为(2,0),半径为2的圆,此圆的面积为4.5.【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把,用动点坐标(x,y)表示后代入+=1,整理即得点C的轨迹.【解析】选B.设C(x,y).=+,(x,y)=(3,1)+(-1,3),(x,y)=(3-,+3),+=1,+=1,即x+2y-5=0,点C的轨迹是一条直线.6.【解析】由=4知,x+2y=4x+2y-4=0,P点的轨迹方程是x+2
6、y-4=0.答案:x+2y-4=07.【解析】设P(x,y),由题意知,x,kAP=,kBP=,由条件知kAPkBP=-,=-,整理得x2+2y2-2=0(x).答案:x2+2y2-2=0(x)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.【变式备选】与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是.【解析】设P(x,y),则+=-1,整理得x2+2xy=1(x1).答案:x2+2xy=1(x1)8.【解题指南】利用相关点法.【解析】如图,设P(x,y),P是线段AB上
7、靠近A的一个三等分点,A(x,0),B(0,3y),也即M(x,3y).又M在直线+=1上,x+3y=1,整理得3x+8y-8=0,这就是点P的轨迹方程.答案:3x+8y-8=09.【解析】设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得|AC|=|AB|,由两点间距离公式,得=.化简,得(x-4)2+(y-2)2=10.因为A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且B,C不能为A的一直径的两个端点.因为B,C不重合,所以点C的坐标不能为(3,5).又因为点B,C不能为A的一直径的两个端点,由=4,=2,得x=5,y=-1.点C的坐标不能为(5,-1).故点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2
8、=10(点(3,5)和(5,-1)除外).点C的轨迹是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆除去(3,5)和(5,-1)两点.【一题多解】ABC为等腰三角形,|AB|=|AC|,又A(4,2),B(3,5)且|AB|=,|CA|=,即C的轨迹是以A为圆心,以为半径的圆,方程为(x-4)2+(y-2)2=10.又A,B,C不能共线,故轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(x3,5),其轨迹是以A(4,2)为圆心,以为半径的圆除去(3,5)和(5,-1)两点.【拓展提升】轨迹方程中的“补点”与“去点”曲线的方程、方程的曲线的定义中要满足以下两点:(1)曲线上点的坐标都是方程的解.(2)以方程的
9、解为坐标的点都在曲线上.求动点轨迹方程要同时满足这两个条件,因此就要学会适时“补点”与“去点”:“补点”是指有时求轨迹方程时,会漏掉曲线上的部分点或个别点,应根据条件作出补充.“去点”是求轨迹方程时,有些方程整理、变形会产生不合题意的点,应去掉.10.【解析】设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).P是线段AB的中点,A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,y1=x1,y2=-x2,又|AB|=2,(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.12y2+x2=12,动点P的轨迹C的方程为+y2=1.11.【解题指南】解答本题应首先建立适当的平面直角坐标系,分别设出动点P,Q,R的坐标,采用平面几何的知识构造等式,消去参数变量即可以得到P的轨迹方程.【解析】分别以AB,AD边所在的直线为x轴,y轴建立直角坐标系.如图所示,则点A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设动点P(x,y).设|AQ|=t(0t1),则Q(t,0),由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,所以R(1,t).当t0时,直线AR方程:y=tx直线DQ方程为+y=1由式得1-y=得y(1-y)=tx,化简得x2+y2-y=0.当t=0时,点P与原点重合,坐标(0,0)也满足上述方程.故点P的轨迹方程为x2+y2-y=0(0x,0y).
