1、2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷 考生注意： 2013.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式的解为 . （第4题图）2. 函数的最小正周期 . 3. 若集合，集合,，则 . 4.【理科】如图，正方体中，直线与平面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. （第4题图）【文科】正方体中，异面直线与所成的角的大小为 . 5. 【理科】若函数的
2、图像经过点，则 .【文科】若函数，则 .6. 若等差数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意（第9题图）取两个，则编号的和是奇数的概率为 （结果用最简分数表示）. 8. 在的二项展开式中，常数项等于 .9. 若函数（,）的部分图像如右图，则 . 10. 在中，若,，则 . 11. 【理科】若函数满足，且，则 _.【文科】若函数满足，且，则 _.12. 【理科】 若、，是椭圆上的动点，则的最小值为 . （第13题图）【文科】若、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为 . 13. 三棱锥中，、分别为
3、、的中点，则截面将三棱锥分成两部分的体积之比为 . 14. 已知函数，设，若，则的取值范围是 .二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 已知函数()，则“”是“函数在上是增函数”的（ ）（A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件.（C）充要条件. （D）非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线（）的焦点坐标为（ ）（A）. （B）.（C）. （D）. 【文科】双曲线（）的焦点坐标为（ ）（A）. （B）.（C）. （D）.17. 已知,若，则的值不可能是（ ）（A）. （B
4、）. （C）. （D）. 18. 如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断P（第18题图）正确的是（ ）（A）满足的点必为的中点.（B）满足的点有且只有一个.（C）的最大值为3.（D）的最小值不存在. 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.（第19题图）2cm6cm如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是，圆柱筒长.（1）这种“浮球”的体积是多少（结果
5、精确到0.1）？（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（第20题图）已知动点到点和直线的距离相等.（1） 求动点的轨迹方程；（2） 记点，若，求的面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知、是中、的对边,，（1）求；（2）求的值22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为
6、，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【文科】和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，判断函数与在上是否互为“ 函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【理科】设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）函数与在上互为“函数”，求集合；（2）若函数(与在
7、集合上互为“函数”,求证：；（3） 函数与在集合且，上互为“函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.【文科】在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 2. 3. 4.【理科】；【文科】 5. 6.（） 7. 8.180
8、9. 10.3 11.【理科】【文科】 12.1 13. 14.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.16.17.18.BBDC三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.【解】（1），2分 ，2分 2分（2）2分 2分 1个“浮球”的表面积 2500个“浮球”的表面积的和 所用胶的质量为（克）2分 答：这种浮球的体积约为；供需胶克. 20.【解】（1）由题意可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为设方程为，
9、其中，即2分所以动点的轨迹方程为2分（2）过作，垂足为,根据抛物线定义，可得2分 由于，所以是等腰直角三角形2分 其中2分所以2分21.【解】（1）在中，由余弦定理得，2分 2分即，解得2分 （2）由得为钝角，所以2分在中， 由正弦定理，得则2分由于为锐角，则2分所以2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，,所以2分，则设，则，所以；2分即满足方程，所以点在直线上. 1分（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得 1分 设，则，所以， 逐差累和得，所以2分设直线与轴的交点，则，2分（3）由（2）， 2分于是， 2分数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的
10、自然数，对一切都有成立.2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数与互为“函数“,则对于, 恒成立.即在上恒成立2分化简得2分所以当时，即1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的 恒成立.即，对于任意恒成立2分.当时，. 不妨取，则，所以2分 所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”1分.（3）由题意得，（且）2分 变形得，由于且 ，因为，所以，即2分 此时，集合2分23.【解】（1）由得 化简得，或2分解得或，即集合2分(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。)（2）证明：由题意得，（且）2分 变形得，由于且 2分因为，所以，即2分（3）当，则，由于函数在上是偶函数则所以当时， 2分由于与函数在集合上“ 互为函数”所以当，恒成立,对于任意的()恒成立,即2分所以,即所以,当（）时,2分所以当时，2分【文科】23、【解】（1）由已知条件得，,所以2分，则设，则，所以；2分即满足方程，所以点在直线上. 1分（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得 1分 设，则，所以， 逐差累和得，所以2分设直线与轴的交点，则，2分（3）由（2）， 2分于是， 2分数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的自然数，对一切都有成立.2分
