1、如图 问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线xa，xb和曲线yf(x)和yg(x)围成 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由 xa，xb 和 yf(x)围成的曲边梯形面积 S1baf(x)dx，再求由 xa，xb 和 yg(x)围成的曲边梯形面积 S2bag(x)dx，则所求阴影部分面积为 S1S2.几种典型图形的面积的计算(1)由一条曲线 yf(x)和直线 xa，xb，y0(ba)所围图形的面积如图(1)所示，f(x)0，ab f(x)dx0，所以，所求阴影部分的面积 Sab f(x)dx.如图(2)所示，f(x)0，ab f(x)dx0，ab f(x)dx0；当
2、cxb时，f(x)0，ab f(x)dx0，所以，所求阴影部分的面积Sac f(x)dx|cb f(x)dx|acf(x)dxcb f(x)dx.图（2）图（3）平面图形的面积一般地，设由曲线yf(x)，yg(x)以及直线xa，xb所围成的平面图形的面积为S，则Sbaf(x)dxbag(x)dx，f(x)g(x)例1 求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积思路点拨 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题精解详析 由yx24，yx2，得x3，y5，或x2，y0，所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S23(x2)d
3、x23(x24)dx2x12x2|2313x34x|23252 253 1256.一点通 求由曲线围成图形面积的一般步骤：根据题意画出图形；求交点，确定积分上、下限；确定被积函数；将面积用定积分表示；用牛顿莱布尼兹公式计算定积分，求出结果1由直线 x3，x3，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为()A.12 B1C.32D.3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分cos xdxsin x 32 32 3.答案：D3-3-332求yx2与yx2围成图形的面积S.解：如图，由yx2，yx2得交点A(2，4)，B(1，1)围成图形(阴影部分)面积为S12(x2x2)dx13x312
4、x22x|1292.3计算由曲线y2x，yx3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y2x，yx3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积解方程组y2x，yx3得交点的横坐标x0，x1，因此所求图形面积为S10 xdx10 x3dx23x32|1014x4|102314 512.例2 求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积思路点拨 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限精解详析 作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由xy1，y3，得x13，y3，故A13，3；由xy1，y
5、x，得x1，y1，或x1，y1，(舍去)，故B(1,1)；由yx，y3，得x3，y3，故C(3,3)，故所求面积SS1S211331x dx31(3x)dx(3xln x)113 3x12x213 4ln 3.一点通 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数4求由曲线ycos x与x轴在区间0，32上所围成图形的面积S_解析：所求面积Scos xdx cos xdxsin xsin x3.
6、2-2222020答案：35求由曲线yx2和直线yx及y2x所围成的平面图形的面积解：由yx2，yx，得A(1，1)，由yx2，y2x，得B(2，4)，如图所示所求面积为S102xdx10 xdx212xdx21x2dx 10(2xx)dx21(2xx2)dx10 xdx21(2xx2)dx12x2|10 x213x3|2176.考点三：综合应用例 3设函数 f(x)x3ax2bxc 满足下列条件：(1)在 x0 处取极值 2；(2)曲线 yf(x)与其上一点(0,2)处的切线所围成的图形的面积为274，求 a、b、c 的值分析 这是一道综合性较强的题目，条件(1)可利用导数表示，条件(2)可
7、利用定积分的几何意义表示解析 f(x)(x3ax2bxc)3x22axb，f(0)b0，f(0)c2.f(x)x3ax22.f(x)3x22ax，f(0)0，f(x)在点(0,2)处的切线即为y2，平行于x轴令f(x)0，得3x22ax0，x0或x2a3.当2a3 0时，则a0，f(x)x32，在(0,2)点取不到极值，2a3 0.当2a3 0时，解方程组y2，yx3ax22，得x0或xa.Sa0(x3ax222)dxx44ax330a14a4a3a3a412274(a0)a3.此时 f(x)x33x22，即 a3，b0，c2.当2a3 0 时，即 a0 时，Saa(x3ax222)dxx44ax33a0a44 a43 a412274(aa，直线AB与抛物线所围成的图形的面积为S，则Sab(ab)xabx2dxab2 x2abx13x3ba16(ba)3.S43，16(ba)343，ba2.设线段AB中点为P(x，y)，则xab2，ya2b22，ba2，xa1，ya22a2，消去a，得yx21.1）如何用定积分求曲边图形的面积？2）有哪些常见模型？
