1、22.2等差数列的前n项和1.了解等差数列前n项和公式的推导过程2.理解等差数列前n项和的性质3体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系4.学会利用等差数列的前n项和公式解决一些实际问题1等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d2等差数列前n项和Sn的性质(1)等差数列an中，连续m项的和仍成等差数列，即Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(2)若Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列等价于是等差数列(3)若an，bn都为等差数列，Sn，S为它们前n项的和，则.1已知等差数列an中，a110，d1，Sn为其前n项和，则S11为()A16
2、5B112C135 D165解析：选D.S1111a1d11055165.2设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于_解析：由等差数列前n项和的性质可知：S3，S6S3，S9S6仍成等差数列且首项为9，公差为18.所以S9S69(31)1845，所以a7a8a9S9S645.答案：453在公式Snna1d中，Sn一定是关于n的二次函数吗？解：不一定由Snna1dn2(a1)n，当d0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即SnAn2Bn(A0)；当d0，a10时，Snna1，Sn是关于n的一次函数当d0，a10时，Sn0是常数函数等差数列前n项和公式的基本运算
3、已知等差数列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及a12；(2)a11，an512，Sn1 022，求d；(3)S524，求a2a4.【解】(1)因为Snn()15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)()4.(2)由Sn1 022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.(3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S55a1d24，即得5a110d24，所以a12d.a2a4a1da13d2(a12d)2.法二：由S524，得a1a5.所以a2a4a1a5.等差数列中的基本计算等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，
4、n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想 (1)在等差数列an中，已知a610，S55，求a8和S8；(2)在等差数列an中，已知a163，求S31.解：(1)因为a610，S55，所以解得所以a8a62d102316，S844.(2)S3131a163133193.等差数列前n项和Sn性质的应用(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()A130B170C210 D260(2)已知an，bn均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则_【解析】(1)利用等差数列的
5、性质：S3，S6S3，S9S6成等差数列所以S3(S9S6)2(S6S3)，即30(S9100)2(10030)，解得S9210.(2)由等差数列的性质，知.【答案】(1)C(2)等差数列前n项和的常用性质(1)Sn，S2nSn，S3nS2n，是等差数列(2)数列是等差数列，公差为数列an的公差的. (3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式进行转化，再利用其他知识解决问题1.设等差数列an的前n项和为Sn，若S48，S820，则a11a12a13a14等于()A18 B17C16 D15解析：选A.设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d，解
6、得d，a11a12a13a14S440d18.2等差数列an的通项公式是an2n1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为_解析：因为an2n1，所以a13，所以Snn22n，所以n2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以数列的前10项和为310175.答案：753一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之和的比为3227，则公差为_解析：由S偶S奇6dd5.答案：5等差数列的前n项和Sn的最值已知等差数列an，且满足an404n，前多少项的和最大，最大值为多少？【解】法一：(函数法)因为an404n，所以a140436，所以Snn2n238n22.令n0，则n9.5，
7、且nN，所以当n9或n10时，Sn最大，所以Sn的最大值为S9S102180.法二：(通项法)因为an404n，所以a140436，a2404232，所以d323640，数列an为递减数列令有所以即9n10.所以当n9或n10时，Sn最大所以Sn的最大值为S9S101010180.若本例中an404n变为an2n14，求该数列前n项和Sn的最小值解：法一：因为an2n14，所以a112，d2.所以a1a2a6a70a8a90，由得所以n，所以当n13时，Sn有最大值，S132513169.等差数列及其前n项和应用实例一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注
8、满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？【解】设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，xn，由已知可知x2x1x3x2xnxn1，所以数列xn成等差数列每个水龙头1 min放水(这里不妨设水池的容积为1)，所以(x1x2xn)1，即Sn24n.所以24n，所以x1xn48.又因为xn5x1，所以6x148，所以xn40(min)故最后关闭的水龙头放水40 min.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的
9、数学模型，搞清楚哪些量能成等差数列，然后转化为等差数列问题来解决 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处沿同一直线同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n分钟后第一次相遇，依题意有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7或n20(舍去)第一次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第二次相遇，依题意，有2n5n370，整理得n213n6700，解得n15，n28(舍去)第
10、二次相遇是在开始运动后15分钟1倒序相加法是求等差数列的前n项和的重要方法，在应用时要注意应用性质a1ana2an1，这也是能够用倒序相加法简化运算的条件2等差数列的前n项和公式Snna1d以及通项公式ana1(n1)d，已知五个量a1，an，n，d，Sn中三个可求其余两个在应用中注意公式的选择，结合等差数列的性质可简化计算3求Sn的最值常有两种方法：一是利用二次函数求最值，注意nN，二是由或来求出哪些是正项，哪些是负项，从而求出Sn的最值等差数列中依次k项的和为一项组成的数列，仍成等差数列，所以Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列，而不是Sk，S2k，S3k成等差数列1在等差数列an中，
11、已知a12，d2，则S20()A230B420C450 D540解析：选B.S2020a1d420.2设Sn是等差数列an的前n项和，若S735，则a4()A8 B7C6 D5解析：选D.S7735，所以a45.3已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_解析：设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以S66a165d3615(2)6.答案：64在等差数列an中，(1)已知a5a1058，a4a950，求S10；(2)已知S742，Sn510，an345，求n.解：(1)由已知条件得解得S1010a1d103454210.(2)S77a442，所以a46.Sn510，所
12、以n20.1记等差数列an的前n项和为Sn，若S420，S24，则公差d为()A2B3C6 D7解析：选B.由得解得2等差数列an中，a47，a5a620，则前n项和为()An2 Bn2nC2n2 D2n2n解析：选A.设an的首项为a1，公差为d，则有解得所以Snn2n2，选A.3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a418a5，则S8()A18 B36C54 D72解析：选D.由题意得a4a518，由等差数列的性质可得a1a8a4a518，所以S872.4已知数列an的前n项和公式是Sn2n23n，则()A是公差为2的等差数列B是公差为3的等差数列C是公差为4的等差数列D不是等差数列解析：
13、选A.因为Sn2n23n，所以2n3，当n2时，2n32(n1)32，故是公差为2的等差数列5设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A1 B1C2 D解析：选A.由等差数列的性质，所以1.6已知数列an为等差数列，且a34，前7项和S756，则公差d_解析：由S77a456，得a48，da4a34.答案：47若等差数列an的前n项和为SnAn2Bn，则该数列的公差为_解析：数列an的前n项和为SnAn2Bn，所以当n2时，anSnSn1An2BnA(n1)2B(n1)2AnBA，当n1时满足，所以d2A.答案：2A8等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4_解析：设等差数
14、列的首项为a1，公差为d，则由6S55S35知，6(5a110d)5(3a13d)5，得3(a13d)1，所以a4.答案：9已知在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.所以an1(n1)(2)32n.(2)由a11，d2，得Sn2nn2.又Sk35，则2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN，故k7.10在等差数列an中，a32，3a22a70，其前n项和为Sn.求：(1)等差数列an的通项公式；(2)Sn，n为何值时，Sn最大解：(1)
15、设等差数列an的公差为d，根据题意，得a12d2，5a115d0，解得a16，d2.所以数列an的通项公式为an2n8.(2)由第一问可知Sn6n(2)n27n.因为S392112，S4162812，所以当n3或n4时，Sn最大B能力提升11已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是()A4或5 B5或6C6或7 D7或8解析：选C.依题意得a50，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故前6项与前7项的和相等，且最小12等差数列an的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为()A5 B6C7 D8解析：选B.由题意知a1a2a3a4124，anan1an2an3156，所以4(a1an)280，所以a1an70.又Sn70210，所以n6.13已知数列an的前n项和Snn29n.(1)求其通项公式an；(2)若它的第k项满足5ak8，求k的值解：(1)因为Snn29n，所以当n2时，anSnSn1n29n(n1)29(n1)2n10.又n1时，a1S18适合上式，所以数列an的通项公式an2n10.(2)由第一问知，ak2k10，解不等式52k108，得k0，S130，S130，所以即所以d0，S130，又由第一问知d0.所以数列前6项为正，从第7项起为负所以数列前6项和最大
