1、11正弦定理和余弦定理11.1正弦定理1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法2能运用正弦定理与三角形内角和解决简单的解三角形问题1正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理的变形公式：设R是ABC的外接圆半径，则有：2R.于是有：(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B；(4)abcsin Asin Bsin C；(5)2R；(6)Sabsin Cbcsin Aacsin B2解三角形(1)把
2、三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理不适用于直角三角形()(2)在ABC中必有asin Absin B()(3)在ABC中，若AB，则必有sin Asin B()答案：(1)(2)(3)2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC的长为()A4B2C D答案：B3已知ABC中，a，b，B60，那么A等于_解析：根据正弦定理得，所以sin A. 又因为ab，所以Aa，所以CA.所以A.由三角形内角和定理，B(AC).由正弦定理，得b1.若本例中C改为A，其他条件不变，求C，B，b.
3、解：因为sin2b，所以AB，而A60，所以B30.判断三角形的形状在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且，试判断ABC的形状【解】由正弦定理2R得：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.代入中，得，即，所以tan Atan Btan C.又因为A、B、C是ABC的内角，所以ABC，所以ABC是等边三角形 )1.在ABC中，已知3b2asin B，cos Bcos C，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选B.由3b2asin B得3sin B2sin Asin B，因为sin B0，所以sin A，所以A或；由cos Bcos
4、C及B与C的范围，知BC，故ABC必为等腰三角形2在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，则ABC是_三角形解析：由已知得sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理知a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角正弦定理的综合应用已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(1，1sin A)，n(cos A，1)，且mn.(1)求A；(2)若bca，求sin(B)的值【解】 (1)因为mn，所以mn0.所以cos A1sin A0，即sin Acos A1，sin(A).因为0A，所以A.所以A，即A.(2)因为bca，所
5、以由正弦定理，得sin Bsin Csin A.因为BC，所以sin Bsin(B)cos Bsin B，即sin(B).(1)平面向量与解三角形的结合，解三角形与函数的结合等，体现了知识的交汇，这类问题的求解，是对知识掌握的检验，也是能力的体现两向量的夹角概念是易错点，向量的数量积等于0是解本题的关键(2)本题渗透了利用正弦定理将边长关系转化为角之间的关系这一数学思想理念 在ABC中，已知c10，求a、b及ABC的内切圆半径解：由正弦定理得，所以，所以sin Acos Asin Bcos B，所以sin 2Asin 2B.因为ab，所以2A2B，所以AB，所以ABC是直角三角形，C为直角，则
6、，解得a6，b8，所以三角形内切圆半径r(abc)2.1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角及一边，求其他两边和一角，直接利用正弦定理即可(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和两角，此类问题要注意讨论解的情况2判断三角形的形状，有两个途径：(1)化角为边；(2)化边为角灵活运用正弦定理的变形公式进行边角互化，是解题的关键(1)利用正弦定理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”的问题时，由于三角形内角正弦值都为正，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准出错做题时结合图形并根据“大边对大角”来进行判断，作出正确的取舍(2)判断三角形形状的问题，应注意三角形中边角的
7、等量关系，边角的不等关系及内角和关系等对角的范围的制约，以免出错如出现sin 2Asin 2B，可得AB或AB，由此可判断三角形为等腰三角形或直角三角形1在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A105，B45，b2，则c()AB1C D2解析：选D.由三角形内角和定理得：C180(AB)180(10545)30.由正弦定理得：c2.2在ABC中，已知2，则其外接圆的直径为()A1 B2C3 D4解析：选B.由正弦定理得2R(其中R是其外接圆的半径)，得2R2.3在ABC中，b1，c，C，则a_解析：由正弦定理，得，所以sin B.因为C为钝角，所以B必为锐角，所以B，所以A，所以
8、AB，所以ab1.答案：14在ABC中，A60，sin B，a3，求三角形中其他边与角的大小解：因为sin B，所以B30或150，当B30时，由A60得C90；当B150时，不合题意，舍去所以由正弦定理可得：ba3，ca32.A基础达标1已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A30B30或150C60 D60或120解析：选D.由，得sin B，将a4，b4，A30，代入得sin Bsin 30，又ab，0Bc，所以BC30，所以B60或120.当B60时，A90，a12.当B120时，A30，a6.所以a6或12.B能力提升11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m
9、(，1)，n(cos A，sin A)，若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A， B，C， D，解析：选C.因为mn，所以cos Asin A0，所以tan A，则A.由正弦定理得原式sin Acos Bsin Bcos Asin2C，所以sin(AB)sin2C，所以sin Csin2C.因为0C，sin C0，所以sin C1，所以C，B.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1，则角A的大小为_解析：由1可得1，由正弦定理可得1整理得，所以sin(AB)2sin Ccos A，所以cos A，又因为0A，所以A.答案：13在ABC中
10、，若abc345，求的值解：由条件得，所以sin Asin C，同理可得sin Bsin C.所以.14(选做题)在ABC中，已知，且cos(AB)cos C1cos 2C.(1)试确定ABC的形状；(2)求的取值范围解：(1)在ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，sin A，sin B，代入，得，所以b2a2ab.因为cos(AB)cos C1cos 2C，所以cos(AB)cos(AB)2sin2C，所以sin Asin Bsin2C.由正弦定理，得，所以abc2.把代入得，b2a2c2，即a2c2b2.所以ABC是直角三角形(2)由第一问知B，所以AC，所以CA.所以sin Csincos A.根据正弦定理，得sin Acos Asin.因为acabc2，所以ac，所以0A，所以A.所以sin1，所以1sin，即的取值范围是(1， )
