1、2.3抛物线课堂导学三点剖析一、利用抛物线定义求最值【例1】 在抛物线x2=8y上求一点P，使得P点到焦点的距离与P点到定点A(1，3)的距离之和最小，并求出这个最小距离.解析：过A作直线l与准线垂直交于点A，与抛物线交于点P，则P点即为所求.将P(1，y)代入x2=8y中，则y=，于是点P的坐标为(1,)，且最小距离d=5.温馨提示此题解法中将点P到焦点F与点A的最小距离，转化为线段AA的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到.二、焦点弦问题【例2】 已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜
2、率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，直线方程为y=k(x-1).由整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.x1+x2=.AB=AF+BF=x1+x2+2=+2.又AB=36，+2=36,解得k2=,即k=.所求直线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).温馨提示(1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k，但是计算复杂，一般不采用.(2)也可以利用弦长公式AB=x1-x2来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.
3、(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到AB=x1+x2+p,解起来更简捷.三、直线与抛物线的位置关系【例3】 直线l：y=kx+1,抛物线C：y2=4x，当k为何值时l与C有(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析：将l和C的方程联立消去y，得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当k=0时，方程(*)只有一个解x=,y=1.直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于对称轴.当k0时，方程(*)是一个一元二次方程.(1)当0，即k1,且k0时，l与C有两个公点，此时称直线l与C相交；(2)当=0，即k=1时，l与C有一个公共点，此时称
4、直线l与C相切；(3)当0,即k1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离.综上所述，可知：当k=1或k=0时，直线l和C有一个公共点；当k1,且k0时，直线l和C有两个公共点；当k1时，直线l和C没有公共点.温馨提示一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的(如图).因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.各个击破类题演练1给定抛物线y2=2x，设A(a,0),a0，P是抛物线上的一点，且PA=d,试求d的最小值.解析：设P(x0,y0),(x00),则y20=2x0,d=PA=a0,
5、x00,(1)当0a1时，1-a0,此时当x0=0时，d最小=(2)当a1时，1-a0,此时当x0=a-1时，d最小=变式提升1抛物线y2=2px动弦AB长为a(a2p),弦AB中点到y轴最短距离是()A.B.C.D.答案：D类题演练2过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.求证：证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),则FA=x1+,FB=x2+,AB=x1+x2+p当ABx轴时，结论显然成立；当AB不垂直于x轴时，消去y得k2x2-p(k2+2)x+=0,则x1+x2=,x1x2=,变式提升2(2006湖北黄冈中学综合能力测试(三)，14)已知椭圆E的离心率为e
6、，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e，则e的值为_.解析：如图，抛物线准线为x=-3c,又PF2=PH，=e,x=-3c也为椭圆E的准线.-=-3ce=.答案：类题演练3设双曲线-y2=1(a0)与直线x+y=1相交于两个不同的点A、B，求a的取值范围.解析：由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0所以解得0a且a1.故a的取值范围是(0，1)(1，)变式提升3设抛物线y2=2px(p0)上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p的值.解析：由题意可知，抛物线必在直线3x+4y+12=0的上方.则直线3x+4y+12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x+4y+7=0.由题意只有一解.消去x得：+4y+7=0.由=16-47=0,所以p=.
