1、第33练函数的极值与最值题型分析高考展望本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在综合题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系常考题型精析题型一利用导数求函数的极值例1(2014江西)已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围点评(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某
2、区间上的单调函数没有极值变式训练1(2015安徽)已知函数f(x)(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值题型二利用导数求函数最值例2(2015湖州模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值点评(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的
3、变化情况变式训练2(2015山东)设函数f(x)(xa)ln x，g(x). 已知曲线yf(x) 在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值高考题型精练1(2015深圳模拟)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da2已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于()A2或2 B9或3C1或1 D3或13已知e为自然对数的
4、底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值4(2015烟台模拟)若函数f(x)有且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是()A(4,0) B(，0C(4,0 D(，0)5已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2)Df(x1)6已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是()A，3
5、B，6C3,12 D，127(2015杭州模拟)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_8已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_9若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图象关于直线x2对称，则f(x)的最大值是_10已知函数f(x)ln x，求函数f(x)的极值和单调区间11(2014安徽 )设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值12(2015课标全国)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递
6、减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围答案精析第33练函数的极值与最值常考题型精析例1解(1)函数f(x)的定义域为(，)当b4时，f(x)，由f(x)0得x2或x0.当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，故f(x)当x2时取得极小值f(2)0，在当x0时取得极大值f(0)4.(2)f(x)，因为当x(0，)时，0，依题意当x(0，)时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0.所以b的取值范围为(，变式训练1解(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x
7、).所以当xr时，f(x)0，当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.例2解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0. 当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为x1，所以f(1)4.所以1abc4，所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，所以f(x)3x2
8、4x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)2(2，)(，1)1f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.变式训练2解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 8110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x
9、)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增，所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0.且x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知0m(x)m(x0)；故m(x)m(x0)当x(x0，)时，由m(x)，可得x(x0,2)时，m(x)0，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减；可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)综上可得，函
10、数m(x)的最大值为.高考题型精练1Ayexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex1.2Ay3x23，当y0时，x1.则x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)y00yc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.3C当k1时，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.4B据题意当x0时，ln x0，解得x1，当x0时，kx2，此时x0必为
11、函数零点，故若函数有两个零点，当且仅当x0)，令f(x)0得2a，设(x)，知(x)，(x)草图如图，f(x)的两个极值点0x11，且2a(0,1)，a.由f(x)草图可知f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增又f(0)0，f(1)a，f(x2)f(1)且a.f(x1).6C方法一由于f(x)3x24bxc，据题意方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2，令g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc的最值问题，
12、由线性规划易知3f(1)12，故选C.方法二方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2的条件也可以通过二分法处理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(1)0即可，利用同样的方法也可解答70a1解析f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2.又x(0,1)，0a2或a0，解得a2或a1.916解析依题意，f(x2)为偶函数，f(x2)(x24x3)x2(a4)x42ab，其中x3的系数为8a0，故a8，x的系数为284b11a0，故b15，令f(x)0，得x36x27x20，由对称轴为x2可知，将该式分解为(x2)(x24x1)0，可知其在2和2处取到最大值，最大值为1
13、6.10解因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)11解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，)和(，)内单调递减，在(，)内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得
14、最小值和最大值；当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值12(1)证明f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0；当x(0，)时，emx10，f(x)0.所以，f(x)在(，0)单调递减，在(0，)上单调递增(2)解由(1)知，对任意的m，f(x)在1，0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e0，故当t1,1时，g(t)0.当m1,1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即emme1；当m1时，g(m)0，即emme1.综上，m的取值范围是1,1
