1、高三数学试题参考答案第 1 页（共 5 页）丹东市 20212022 学年度上学期期末教学质量监测高三数学试题参考答案 一、选择题1B2C3B4C5A6D7B8D二、选择题9BCD10BC11ABD12ACD三、填空题130.3141154162四、解答题17解：（1）因为-x15i15xi3，-y15i15yi2，所以b34.353255532 0.43，a20.4330.71故 y 关于 x 的线性回归方程为y0.43x0.71 （5 分）（2）若满 5 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为162555.2（万元）若满 8 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为16250.43(67
2、8)30.71837.1684.645（万元）因为 4.6455.2，所以使用到满 8 年的年平均费用低于使用到满 5 年的年平均费，因此建议继续使用到满 8 年再淘汰 （10 分）18解：（1）由 cosABD17，可得 sinABD4 37 因为A60，所以在ADB 中，sinADBsin(180ABDA)sin(ABD60)sinABD cos60cosABD sin604 37 12(17)323 314 （6 分）（2）在ADB 中，由正弦定理得ABsinADB DBsinA，由（1）及题设可得 DB7按秘密级事项管理 高三数学试题参考答案第 2 页（共 5 页）因为ADC90，由（
3、1）可得 cosBDCsinADB3 314，于是 sinBDC1314由12DBDC sinBDC39 34，可得 DC3 3在DBC 中，由余弦定理得BC DC2DB22DCDBcosBDC7 （12 分）19证明：（1）（1）因为 an0，所以 Sn+1 Sn，设 Sn的公差为 d，则 d0由 a23a1可得 d S2 S1 a1，所以 Sn a1(n1)a1 a1n，Sna1n2当 n2 时，anSnSn-1a1(2n1)，所以 ana1(2n1)于是 an+1an2a1，所以an是以 2a1为公差的等差数列 （6 分）（2）因为a11，所以 an2n1，a11，1akak11212k
4、112k1，于是k1ni1akak112k1ni12k112k1 12k1ni12k1k1ni12k1 12112n1 n2n1因为 nN*，所以n2n11214n212，于是k1ni1akak112 （12 分）20解法 1：（1）以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz设 AB2a，则 P(0，0，2)，C(2a，2，0)，D(0，2，0)，E(a，0，0)PC(2a，2，2)，PE(a，0，2)，PD(0，2，2)设平面 PEC 的法向量为n1(x，y，z)，则n1PC 0，n1PE 0即2ax2y2z0，ax2z0可取n1(2，a，a)设
5、平面 PDC 的法向量为n2(x，y，z)，则n2PC 0，n2PD 0即2ax2y2z0，2y2z0可取n2(0，1，1)因为n1n20，所以平面 PEC平面 PDCxyzPABCDE高三数学试题参考答案第 3 页（共 5 页）（6 分）（2）设平面 PDE 的法向量为n3(x，y，z)，则n3PD 0，n3PE 0即2y2z0，ax2z0可取n3(2，a，a)所以|cosn2，n3|n2n3|n2|n3|aa22因为二面角 CPDE 的大小为 45，所以|cosn2，n3|22，于是aa22 22，解得 a 2，故PC(2 2，2，2)，n3(2，2，2)于是点 C 到平面 PDE 的距离
6、 dPC n3|n3|2 （12 分）解法 2：（1）取 PD 的中点为 F，取 PC 的中点为 G，连结 AF，FG，GE，则 AEFG，AEFG，四边形 AEGF 是平行四边形，故 EGAF因为 CDAD，CDPA，所以 CD平面 PAD，所以 CDAF又AFPD，所以 AF平面 PDC，从而 EG平面 PDC因为 EG平面 PEC，所以平面 PEC平面 PDC （6 分）（2）由（1）可知 AFPD，GFPD，所以 PD平面 AEGF，连结 EF，则EFG 是二面角 CPDE 的平面角，由EFG45，可得 AEGFAF 2于是 PEED 6，PDE 面积SPDE2 2EDC 面积SEDC
7、2 2设点 C 到平面PDE 的距离为 d，由13SPDEd13SEDCPA，可得点 C 到平面 PDE 的距离 d2 （12 分）21解法 1：（1）设 E：y22px(p0)，x1 代入可得 P(1，2p)，Q(1，2p)由 OPOQ 可得 OP OQ0，所以 1 2p 2p0，p12，故 C 的方程为y2x （4 分）（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 的两点式方程为(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)由x1y21，x2y22，以及y2y1，可得 AB：x(y1y2)yy1y20设 C(x0，y0)，同理 AC：x(y1y0)yy1y00，BC：x(y0y2)
8、yy0y20因为 AB：y22 2y10，所以y1y22 2，y1y21，不妨取y1 21，y2 21因为 AC 的斜率与 BC 的斜率互为相反数，所以y1y0(y0y2)，可得y1y22y0，故y0 2，于是 AC：xy 220，BC：xy 220PABCDFEG高三数学试题参考答案第 4 页（共 5 页）（8 分）因为直线 AC 与 BC 关于直线 x2 对称，也关于直线 y 2对称因为D 是ABC 内切圆，所以可设 D(2，b)，D 半径为 r，则|22 2b1|12(2 2)2r，|2b 22|12(1)2 r，|2b 22|1212r解得 b0，r1，因此D 的方程为(x2)2y21
9、 （12 分）解法 2：（1）同解法 1（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 xy2代入到 x2 2y10，得y22 2y10，y 21不妨取y1 21，y2 21设 C(x0，y0)，因为直线 AC 与 BC 的斜率互为相反数，所以y0y1x0 x1y0y2x0 x2，由x1y21，x2y22，y1y0，y2y0，可得y1y22y0，故y0 2，从而x02AC：(yy1)(2x1)(xx1)(2y1)，因为x1y21，所以 AC：xy 220同理 BC：xy 220 （8 分）设D 的圆心 D(a，b)，半径为 r，则|a2 2b1|12(2 2)2r，|ab 22|12(1)2
10、 r，|ab 22|1212r解得 a2，b0，r1，因此D 的方程为(x2)2y21 （12 分）22解：（1）f(x)定义域为(0，)，f(x)1lnxx2，当 0 xe 时，f(x)0，当 xe 时，f(x)0，故 f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减所以当 xe 时，f(x)取得极大值1e，没有极小值 （4 分）高三数学试题参考答案第 5 页（共 5 页）（2）设 g(x)f(x)lnaa，xa 是 g(x)的一个零点g(x)与 f(x)单调性相同，由（1）可知当 ae 时，lnaa 1e，所以 g(e)0若 ae，g(x)在(e，)有唯一零点 xa因为 g(1)lnaa 0，所以 g(x)在(0，e)有唯一零点若 1ae，g(x)在(0，e)有唯一零点 xa由（1）可知 lnxxe因为 alnae，所以(alna)2e2e，从而g(alna)22ln alna(alna)2lnaa 2aelna(alna)2lnaa(2ee)lnaa 0所以 g(x)在(e，)有唯一零点若 0a1，f(x)在(0，e)上有唯一零点 xa当 xe 时，g(x)0，因此 g(x)有且仅有一个零点 xa综上，a 取值范围为(1，e)(e，)（12 分）
