1、第九讲函数与方程ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一函数的零点1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点注：函数的零点不是点是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是yf(x)与x轴的交点2几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方
2、程f(x)0的根知识点二二分法1对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度，即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复
3、(2)(3)(4)1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号(5)若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0)的图象与零点的关
4、系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点题组一走出误区1(多选题)下列结论不正确的是(ABCD)A函数的零点就是函数的图象与x轴的交点B函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点D函数y2x与yx2只有两个交点解析A函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标B函数图象若没有穿过x轴，则f(a)f(b)0.C若在区间a，b内有多个零点，f(a)f(b)0也可以Dyx2与y2x在y轴左侧一个交点y轴右侧两个交点，如在x2和x4处都有交点故选A
5、、B、C、D题组二走进教材2(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是(D)A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(1,2)内有零点C函数f(x)在区间(0,2)内有零点D函数f(x)在区间(0,4)内有零点(2)(多选题)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)
6、(xb)(xc)(xc)(xa)的零点位于区间可能为(BC)A(，a) B(a，b)C(b，c) D(c，)解析(1)因为f(1)f(2)f(4)0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(2)0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(4)0，则在(0,4)内有零点故选D(2)易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C名师点拨 确定函数零点所在区
7、间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断考向2函数零点个数的确定师生共研例2 (1)(2018课标，15)函数f(x)cos(3x)在0，的零点个数为3.(2)(2020云南昆明一中摸底)若函数f(x)|x|，则函数yf(x)|x|的零点个数是(D)A5个 B4个 C3个 D2个(3)(2020江淮十校联
8、考)已知函数f(x)，则关于x的方程f 2(x)5f(x)40的实数根的个数为(D)A2 B3 C6 D7分析画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f(x)0可解，也可直接解方程求解解析(1)本题考查函数与方程令f(x)0，得cos(3x)0，解得x(kZ)当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x，又x0，所以满足要求的零点有3个(2)在同一坐标系中作出f(x)|x|、g(x)|x|的图象，由图可知选D(3)解法一：由f 2(x)5f(x)40得f(x)1或4.若f(x)1，当x0时，即5|x1|11，5|x1|2解得x1log52，当x0时，即x24x30，解得x1或3.若f(x)4，
9、当x0时，5|x1|14，|x1|1解得x0或2，当x0时即x24x0，解得x4.故所求实根个数共有7个解法二：由f2(x)5f(x)40得f(x)1或4.由f(x)图象可知：f(x)1有4个根，f(x)4有3个根方程f 2(x) 5f(x)40有7个根名师点拨 函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为(C)A1 B2 C3 D4解析(1)x220，解得x，x0，x，2x6ln x0，设yln x，y6
10、2x，分别画函数图象(图略)可得一个交点，故原函数有两个零点(2)f(x)exx3在(0，)上为增函数，f()e0，f(x)在(0，)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(，0)上也有一个零点，又f(0)0，所以f(x)有三个零点，故选C考向3函数零点的应用多维探究角度1与零点有关的比较大小例3 已知函数f(x)2xx，g(x)xx，h(x)log2x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(D)Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx1x3x2 Dx3x2x1解析由f(x)2xx0，g(x)xx0，h(x)log2x0，得2xx，xx，log2x，在平面直角坐标系中分别作出
11、y2x与yx的图象；yx与yx的图象；ylog2x与y的图象，由图可知：1x10,0x21.所以x3x2x1.角度2已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2019天津，5分)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(D)A， B(，C(，1 D，1解析由题意画出f(x)的图象，如图所示，当直线yxa与曲线y(x1)相切时，方程xa有一个解，x24ax40，(4a)2440，得a1，此时f(x)xa有两个互异的实数解当直线yxa经过点(1,2)时，即21a，所以a，当直线yxa经过点(1,1)时，11a，得a，从图象可以看出当a，时，函数f(x)的
12、图象与直线yxa有两个交点，即方程f(x)xa有两个互异的实数解故选D名师点拨 1比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小；(2)数形结合法2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解变式训练2(1)(角度1)(2020安徽蚌埠月考)已知函数f(x)3xx，g(x)log3xx，h(x)x3x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(B)Aabc
13、Bacbc Dcab(2)(角度2)(2018课标，9)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是(C)A1,0) B0，)C1，) D1，)分析(1)解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y3x、ylog3x、yx3与yx的图象，比较其交点横坐标的大小即可解析(1)解法一：f(1)311，f(0)1，a(，0)，又g()log3，g(1)1，b(，1)，显然c0，acb，故选B解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y3x、ylog3x、yx的图象，结合图象及c0可知acb，故选B(2)本题主要考查函数的零点
14、及函数的图象g(x)f(x)xa存在2个零点等价于函数f(x)与h(x)xa的图象存在2个交点，当x0时，h(0)a，由图可知要满足yf(x)与yh(x)的图象存在2个交点，需要a1，即a1.故选C考点二二分法及其应用自主练透例5 (1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0(0,0.5)，第二次应计算f(0.25).(2)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为(，2).(3)在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1.4,1.5
15、，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7.解析(1)因为f(0)0，由二分法原理得一个零点x0(0,0.5)；第二次应计算f()f(0.25)(2)区间(1,2)的中点x0，令f(x)x32x1，f()40，则根所在区间为(，2)(3)设至少需要计算n次，由题意知100.由2664,27128，知n7.名师点拨 1用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断2利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求
16、函数的零点与相应方程的根是等价的(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 函数零点的综合问题例6 (2020安徽淮南第一次模拟)已知函数f(x)的图象，若函数g(x)f(x)2kf(x)1恰有4个零点，则实数k的取值范围是(B)A(，2)(2，) B(，)C(，2) D(2，)(2)(2020山西五校联考)已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(A)A(，0) B(，0)C(0，) D(0，)
17、解析(1)g(x)f(x)2kf(x)1恰有4个零点，关于t的方程t2kt10在(0，)上有1个解，在(，)0上有1解，显然t0不是方程t2kt10的解，关于t的方程t2kt10在(0，)和(，)上各有1个解，1.故选B(2)解法一：显然x0时，2xa，有一根不妨记为x1，则x1(a0)，当x0时x2xa即x2xa0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则14a0，即a，从而a2(，0)且x2x3a.x1x2x3(，0)，故选A解法二：作出yf(x)及ya的图象，显然0a，不妨设x1x2x3显然x10，x30，x1x2x30排除C、D，又当x2趋近x3时，x2x3趋近，x1趋近，故x1x2x3趋
18、近.故选A名师点拨 以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题变式训练3(1)已知f(x)，则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是5.(2)(2020哈师大附中开学考)设方程2x|log2(x)|的两个根分别为x1，x2，则(B)Ax1x20 B0x1x21解析(1)解法一：由2f2(x)3f(x)10得f(x)1或f(x).当x0时|lgx|1得lgx1，解得x10或；|lgx|得lgx，解得x或；当x0时，2|x|1得x0,2|x|无解故函数y2f2(x)3f(x)1有5个零点解法二：由2f2(x)3f(x)10得f(x)1或f(x).在坐标系中分别作出y1f(x)、y21、y3的图象，如图可知它们共有5个交点，故y2f2(x)3f(x)1共有5个零点(2)作出y2x及y|log2(x)|的图象，不妨设x1x2则2x1log2(x1)，2x2log2(x2)由y2x是增函数知2x12x20(x10，x20)，log2(x1)log2(x2)0，即log2(x1x2)0，0x1x21，故选B
