1、第七讲对数与对数函数ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一对数与对数运算1对数的概念(1)对数的定义：如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质：loga10；logaa1(其中a0且a1).(2)对数恒等式：alogaNN.(其中a0且a1，N0)(3)对数的换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1，N0)(4)
2、对数的运算法则：如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)知识点二对数函数的图象与性质1对数函数的定义、图象和性质定义函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：(，)当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1指数式与对数式互化2换底公式的两个重要结论logab；logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR.3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y
3、1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaNCylog2x2不是对数函数，而ylog2(x)是对数函数D函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同解析对于A，设2lg 3M,3lg 2N，则lg Mlg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg N，MN.对于B，M0，N0才正确；对于C，ylog2(x)不是对数函数；对于D正确；故选A、B题组二走进教材2(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：(1)log2；(2)log53log50；(3)lg2lg2()11；(4)(log29)(log34)4.解析(1)l
4、og2log22；(2)log53log5log510；(3)lg2lg2()1lglg4()1lg1021；(4)解法一：原式4.解法二：原式2log23224.3(必修1P74AT4改编)若lg2a，lg3b，则lg12的值为(C)Aa Bb C2ab D2ab解析因为lg2a，lg3b，所以lg12lg(43)2lg 2lg32ab.故选C4(必修1P74AT7改编)函数y的定义域是(，1.解析log(2x1)0，即02x11，解得1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分虽为2,3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x1时，图象越靠近x轴，其底数越小
5、，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2,3，.解法二：可以画直线y1，看交点的位置自左向右，底数由小到大题组三考题再现6(2019全国卷，5分)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则(B)Aabc BacbCcab Dbca解析alog20.21，c0.20.3(0,1)，ac0，得x4.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)，选DKAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探
6、究 考点一对数与对数运算自主练透例1 (1).(2)(log32log92)(log43log83).(3)(2020保定模拟)设2a5bm，且2，则m.(4)若loga2m，loga3n，则a2mn12，用m，n表示log46为.解析(1)原式.(2)原式()()()().(3)因为2a5bm，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102，所以m210，m.(4)因为loga2m，loga3n，所以am2，an3，a2mn(am)2an22312，log46.故填12；.考点二对数函数的图象与性质考向1对数函数的图象及其应用师生共研例2 (1)若函数ya|x|(a0
7、，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是(B)(2)(2020合肥月考)当0x时，4x0且a1)，则实数a的取值范围是(B)A(0，) B(，1) C(1，) D(，2)解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在(0，上的图象，可知，f()g()，即2，所以a的取值范围为(，1)本题还有以下解法：因为0x，所以14x1，所以0a1，排除选项C，D；取a，x
8、，则有42，1，显然4xlogax不成立，排除选项A故选B名师点拨 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解变式训练1(1)函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为(A)(2)若不等式x2logax0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A(2)由x2logax0得x2loga
9、x，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x(0，)时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x(0，)上恒成立，需f1()f2()，所以有()2loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是，1)考向2对数函数的性质及其应用多维探究角度1比较对数值的大小例3 (2019天津，5分)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为(A)Aacb BabcCbca Dcab解析alog520.51，故alog0.50.252，而c0.50.20.501，故cb.所以ac0成立，且为增函数解析函数f(x)log0.5(x2ax
10、3a)在2，)上单调递减函数tx2ax3a在2，)上单调递增，且t04f(log38)的解集为(C)Ax|xCx|xDx|x或xf(log38)化为| (2x5)|log38|，即log3(2x5)log38或log3(2x5)8或02x5或x.故选C名师点拨 1比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较2解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤变式训练2(1)(角度1)(2020山
11、东日照一中期中)已知alog23，blog34，clog411，则a，b，c的大小关系为(B)Abca BbacCabc Dacb(2)(角度2)若函数f(x) (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数m的取值范围为(C)A，3 B，2C，2) D，)(3)(角度3)(2020河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)内单调递增若实数a满足f(log4a)f(log0.25a)2f(1)，则a的取值范围是(B)A，2 B，4 C，2 D，4解析(1)alog23，blog34，clog411，blog34log33log22log23aclog411l
12、og2，bac.故选B(2)由题意得：y (x24x5)增区间为(2,5)，所以，解得m，2)，故选C(3)log0.25aalog4a且f(x)为偶函数，f(log4a)f(log0.25a)2f(1)可化为f(log4a)f(1)，又f(x)在0，)内单调递增，|log4a|1，log41log4a1log44，a4，故选BMING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 有关对数运算的创新应用问题例6 (2019北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)
13、已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D1010.1解析由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2m1lg ，得26.71.45lg ，lg 25.25，lg 10.1，lg 10.1，1010.1.故选A名师点拨 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力变式训练3里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍解析根据题意，由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A6102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍
